Resolver {l}{x-5y=-6}{-4x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 5 y = - 6 } \\ { - 4 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-5y=-6,-4x+y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-5y=-6$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$x=5y-6$$

Substitúe x por 5y-6 na outra ecuación, -4x+y=5.

$$-4\left(5y-6\right)+y=5$$

Multiplica -4 por 5y-6.

$$-20y+24+y=5$$

Suma -20y a y.

$$-19y+24=5$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$-19y=-19$$

Divide ambos lados entre -19.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=5y-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=5-6$$

Suma -6 a 5.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-5y=-6,-4x+y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&-\frac{5}{19}\\-\frac{4}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\left(-6\right)-\frac{5}{19}\times 5\\-\frac{4}{19}\left(-6\right)-\frac{1}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-5y=-6,-4x+y=5$$

Para que x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-4x-4\left(-5\right)y=-4\left(-6\right),-4x+y=5$$

Simplifica.

$$-4x+20y=24,-4x+y=5$$

Resta -4x+y=5 de -4x+20y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x+20y-y=24-5$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$20y-y=24-5$$

Suma 20y a -y.

$$19y=24-5$$

Suma 24 a -5.

$$19y=19$$

Divide ambos lados entre 19.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en -4x+y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x+1=5$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=4$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=1$$