Resolver {l}{x-2y=-6}{6x+8y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = - 6 } \\ { 6 x + 8 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y = \frac{19}{10} = 1\frac{9}{10} = 1.9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-2y=-6$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=2y-6$$

Substitúe x por -6+2y na outra ecuación, 6x+8y=2.

$$6\left(2y-6\right)+8y=2$$

Multiplica 6 por -6+2y.

$$12y-36+8y=2$$

Suma 12y a 8y.

$$20y-36=2$$

Suma 36 en ambos lados da ecuación.

$$20y=38$$

Divide ambos lados entre 20.

$$y=\frac{19}{10}$$

Substitúe y por \frac{19}{10} en x=2y-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\times \frac{19}{10}-6$$

Multiplica 2 por \frac{19}{10}.

$$x=\frac{19}{5}-6$$

Suma -6 a \frac{19}{5}.

$$x=-\frac{11}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{8-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{8-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{8-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{10}\times 2\\-\frac{3}{10}\left(-6\right)+\frac{1}{20}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{19}{10}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

Para que x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-6\right),6x+8y=2$$

Simplifica.

$$6x-12y=-36,6x+8y=2$$

Resta 6x+8y=2 de 6x-12y=-36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-12y-8y=-36-2$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y-8y=-36-2$$

Suma -12y a -8y.

$$-20y=-36-2$$

Suma -36 a -2.

$$-20y=-38$$

Divide ambos lados entre -20.

$$y=\frac{19}{10}$$

Substitúe y por \frac{19}{10} en 6x+8y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+8\times \frac{19}{10}=2$$

Multiplica 8 por \frac{19}{10}.

$$6x+\frac{76}{5}=2$$

Resta \frac{76}{5} en ambos lados da ecuación.

$$6x=-\frac{66}{5}$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=-\frac{11}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$