Resolver {l}{x=3y+4}{y=1/2x-8/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 4 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=8$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x-3y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-3y=4$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=3y+4$$

Substitúe x por 3y+4 na outra ecuación, -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}.

$$-\frac{1}{2}\left(3y+4\right)+y=-\frac{8}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 3y+4.

$$-\frac{3}{2}y-2+y=-\frac{8}{3}$$

Suma -\frac{3y}{2} a y.

$$-\frac{1}{2}y-2=-\frac{8}{3}$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{3}$$

Multiplica ambos lados por -2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Substitúe y por \frac{4}{3} en x=3y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3\times \frac{4}{3}+4$$

Multiplica 3 por \frac{4}{3}.

$$x=4+4$$

Suma 4 a 4.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x-3y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-6\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-6\left(-\frac{8}{3}\right)\\-4-2\left(-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x-3y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Para que x e -\frac{x}{2} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -\frac{1}{2} e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Simplifica.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Resta -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3} de -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Suma -\frac{x}{2} a \frac{x}{2}. -\frac{x}{2} e \frac{x}{2} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Suma \frac{3y}{2} a -y.

$$\frac{1}{2}y=-2+\frac{8}{3}$$

Suma -2 a \frac{8}{3}.

$$\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Substitúe y por \frac{4}{3} en -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Resta \frac{4}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{2}x=-4$$

Multiplica ambos lados por -2.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$