Resolver {l}{x+y=7}{-4x+y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 7 } \\ { - 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=7,-4x+y=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=7$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+7$$

Substitúe x por -y+7 na outra ecuación, -4x+y=-3.

$$-4\left(-y+7\right)+y=-3$$

Multiplica -4 por -y+7.

$$4y-28+y=-3$$

Suma 4y a y.

$$5y-28=-3$$

Suma 28 en ambos lados da ecuación.

$$5y=25$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-y+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5+7$$

Suma 7 a -5.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=7,-4x+y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\right)}&-\frac{1}{1-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{1-\left(-4\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{5}\left(-3\right)\\\frac{4}{5}\times 7+\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=7,-4x+y=-3$$

Resta -4x+y=-3 de x+y=7 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x+4x+y-y=7+3$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x+4x=7+3$$

Suma x a 4x.

$$5x=7+3$$

Suma 7 a 3.

$$5x=10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en -4x+y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-4\times 2+y=-3$$

Multiplica -4 por 2.

$$-8+y=-3$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=5$$