Resolver {l}{x+y=4}{4x-3y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { 4 x - 3 y = - 19 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=4,4x-3y=-19$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=4$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+4$$

Substitúe x por -y+4 na outra ecuación, 4x-3y=-19.

$$4\left(-y+4\right)-3y=-19$$

Multiplica 4 por -y+4.

$$-4y+16-3y=-19$$

Suma -4y a -3y.

$$-7y+16=-19$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$-7y=-35$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5+4$$

Suma 4 a -5.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=4,4x-3y=-19$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-4}&-\frac{1}{-3-4}\\-\frac{4}{-3-4}&\frac{1}{-3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 4+\frac{1}{7}\left(-19\right)\\\frac{4}{7}\times 4-\frac{1}{7}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=4,4x-3y=-19$$

Para que x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$4x+4y=4\times 4,4x-3y=-19$$

Simplifica.

$$4x+4y=16,4x-3y=-19$$

Resta 4x-3y=-19 de 4x+4y=16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+4y+3y=16+19$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y+3y=16+19$$

Suma 4y a 3y.

$$7y=16+19$$

Suma 16 a 19.

$$7y=35$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en 4x-3y=-19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-3\times 5=-19$$

Multiplica -3 por 5.

$$4x-15=-19$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$4x=-4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=5$$