Resolver {l}{x+y=300}{15x+(0.9*30-25)y=3200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 300 } \\ { 15 x + ( 0.9 \times 30 - 25 ) y = 3200 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=200$$

$$y=100$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=300,15x+2y=3200$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=300$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+300$$

Substitúe x por -y+300 na outra ecuación, 15x+2y=3200.

$$15\left(-y+300\right)+2y=3200$$

Multiplica 15 por -y+300.

$$-15y+4500+2y=3200$$

Suma -15y a 2y.

$$-13y+4500=3200$$

Resta 4500 en ambos lados da ecuación.

$$-13y=-1300$$

Divide ambos lados entre -13.

$$y=100$$

Substitúe y por 100 en x=-y+300. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-100+300$$

Suma 300 a -100.

$$x=200$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=200,y=100$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=300,15x+2y=3200$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\15&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\3200\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\15&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\15&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\15&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\15&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\3200\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\15&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\3200\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\15&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\3200\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-15}&-\frac{1}{2-15}\\-\frac{15}{2-15}&\frac{1}{2-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\3200\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{15}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\3200\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 300+\frac{1}{13}\times 3200\\\frac{15}{13}\times 300-\frac{1}{13}\times 3200\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\100\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=200,y=100$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=300,15x+2y=3200$$

Para que x e 15x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 15 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$15x+15y=15\times 300,15x+2y=3200$$

Simplifica.

$$15x+15y=4500,15x+2y=3200$$

Resta 15x+2y=3200 de 15x+15y=4500 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x+15y-2y=4500-3200$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y-2y=4500-3200$$

Suma 15y a -2y.

$$13y=4500-3200$$

Suma 4500 a -3200.

$$13y=1300$$

Divide ambos lados entre 13.

$$y=100$$

Substitúe y por 100 en 15x+2y=3200. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$15x+2\times 100=3200$$

Multiplica 2 por 100.

$$15x+200=3200$$

Resta 200 en ambos lados da ecuación.

$$15x=3000$$

Divide ambos lados entre 15.

$$x=200$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=200,y=100$$