Resolver {l}{u+v=10}{3u-2v=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { u + v = 10 } \\ { 3 u - 2 v = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver u, v

$$u=5$$

$$v=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a u mediante o illamento de u no lado esquerdo do signo igual.

$$u+v=10$$

Resta v en ambos lados da ecuación.

$$u=-v+10$$

Substitúe u por -v+10 na outra ecuación, 3u-2v=5.

$$3\left(-v+10\right)-2v=5$$

Multiplica 3 por -v+10.

$$-3v+30-2v=5$$

Suma -3v a -2v.

$$-5v+30=5$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$-5v=-25$$

Divide ambos lados entre -5.

$$v=5$$

Substitúe v por 5 en u=-v+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar u directamente.

$$u=-5+10$$

Suma 10 a -5.

$$u=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$u=5,v=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{1}{-2-3}\\-\frac{3}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 5\\\frac{3}{5}\times 10-\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz u e v.

$$u=5,v=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

Para que u e 3u sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3u+3v=3\times 10,3u-2v=5$$

Simplifica.

$$3u+3v=30,3u-2v=5$$

Resta 3u-2v=5 de 3u+3v=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3u-3u+3v+2v=30-5$$

Suma 3u a -3u. 3u e -3u anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3v+2v=30-5$$

Suma 3v a 2v.

$$5v=30-5$$

Suma 30 a -5.

$$5v=25$$

Divide ambos lados entre 5.

$$v=5$$

Substitúe v por 5 en 3u-2v=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar u directamente.

$$3u-2\times 5=5$$

Multiplica -2 por 5.

$$3u-10=5$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$3u=15$$

Divide ambos lados entre 3.

$$u=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$u=5,v=5$$