Resolver {l}{rx-ry=1}{rx-9y=r}

$$\left\{ \begin{array} { l } { r x - r y = 1 } \\ { r x - 9 y = r } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

$$y=-\frac{1-r}{r-9}$$

$$r\neq 9\text{ and }r\neq 0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$rx+\left(-r\right)y=1$$

Suma ry en ambos lados da ecuación.

$$rx=ry+1$$

Divide ambos lados entre r.

$$x=\frac{1}{r}\left(ry+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{r} por ry+1.

$$x=y+\frac{1}{r}$$

Substitúe x por y+\frac{1}{r} na outra ecuación, rx-9y=r.

$$r\left(y+\frac{1}{r}\right)-9y=r$$

Multiplica r por y+\frac{1}{r}.

$$ry+1-9y=r$$

Suma ry a -9y.

$$\left(r-9\right)y+1=r$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$\left(r-9\right)y=r-1$$

Divide ambos lados entre r-9.

$$y=\frac{r-1}{r-9}$$

Substitúe y por \frac{r-1}{r-9} en x=y+\frac{1}{r}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{r-1}{r-9}+\frac{1}{r}$$

Suma \frac{1}{r} a \frac{r-1}{r-9}.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&-\frac{-r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\\-\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}&\frac{1}{r-9}\\-\frac{1}{r-9}&\frac{1}{r-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}+\frac{1}{r-9}r\\-\frac{1}{r-9}+\frac{1}{r-9}r\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}\\\frac{r-1}{r-9}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Resta rx-9y=r de rx+\left(-r\right)y=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$rx+\left(-r\right)x+\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Suma rx a -rx. rx e -rx anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Suma -ry a 9y.

$$\left(9-r\right)y=1-r$$

Divide ambos lados entre -r+9.

$$y=\frac{1-r}{9-r}$$

Substitúe y por \frac{1-r}{-r+9} en rx-9y=r. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$rx-9\times \frac{1-r}{9-r}=r$$

Multiplica -9 por \frac{1-r}{-r+9}.

$$rx-\frac{9\left(1-r\right)}{9-r}=r$$

Suma \frac{9\left(1-r\right)}{-r+9} en ambos lados da ecuación.

$$rx=-\frac{\left(r-3\right)\left(r+3\right)}{9-r}$$

Divide ambos lados entre r.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)},y=\frac{1-r}{9-r}$$