Resolver {l}{m+n=6}{2m-2n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { m + n = 6 } \\ { 2 m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

$$n = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$m+n=6,2m-2n=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$m+n=6$$

Resta n en ambos lados da ecuación.

$$m=-n+6$$

Substitúe m por -n+6 na outra ecuación, 2m-2n=6.

$$2\left(-n+6\right)-2n=6$$

Multiplica 2 por -n+6.

$$-2n+12-2n=6$$

Suma -2n a -2n.

$$-4n+12=6$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$-4n=-6$$

Divide ambos lados entre -4.

$$n=\frac{3}{2}$$

Substitúe n por \frac{3}{2} en m=-n+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=-\frac{3}{2}+6$$

Suma 6 a -\frac{3}{2}.

$$m=\frac{9}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=\frac{9}{2},n=\frac{3}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$m+n=6,2m-2n=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 6\\\frac{1}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=\frac{9}{2},n=\frac{3}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$m+n=6,2m-2n=6$$

Para que m e 2m sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2m+2n=2\times 6,2m-2n=6$$

Simplifica.

$$2m+2n=12,2m-2n=6$$

Resta 2m-2n=6 de 2m+2n=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2m-2m+2n+2n=12-6$$

Suma 2m a -2m. 2m e -2m anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2n+2n=12-6$$

Suma 2n a 2n.

$$4n=12-6$$

Suma 12 a -6.

$$4n=6$$

Divide ambos lados entre 4.

$$n=\frac{3}{2}$$

Substitúe n por \frac{3}{2} en 2m-2n=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$2m-2\times \frac{3}{2}=6$$

Multiplica -2 por \frac{3}{2}.

$$2m-3=6$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$2m=9$$

Divide ambos lados entre 2.

$$m=\frac{9}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=\frac{9}{2},n=\frac{3}{2}$$