Resolver {l}{9x+71y=135}{4x+y=41}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 71 y = 135 } \\ { 4 x + y = 41 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{2776}{275} = 10\frac{26}{275} \approx 10.094545455$$

$$y=\frac{171}{275}\approx 0.621818182$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9x+71y=135,4x+y=41$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$9x+71y=135$$

Resta 71y en ambos lados da ecuación.

$$9x=-71y+135$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-71y+135\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por -71y+135.

$$x=-\frac{71}{9}y+15$$

Substitúe x por -\frac{71y}{9}+15 na outra ecuación, 4x+y=41.

$$4\left(-\frac{71}{9}y+15\right)+y=41$$

Multiplica 4 por -\frac{71y}{9}+15.

$$-\frac{284}{9}y+60+y=41$$

Suma -\frac{284y}{9} a y.

$$-\frac{275}{9}y+60=41$$

Resta 60 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{275}{9}y=-19$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{275}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{171}{275}$$

Substitúe y por \frac{171}{275} en x=-\frac{71}{9}y+15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{71}{9}\times \frac{171}{275}+15$$

Multiplica -\frac{71}{9} por \frac{171}{275} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{1349}{275}+15$$

Suma 15 a -\frac{1349}{275}.

$$x=\frac{2776}{275}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2776}{275},y=\frac{171}{275}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9x+71y=135,4x+y=41$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&71\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\41\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&71\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&71\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&71\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&71\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\41\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&71\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\41\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&71\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\41\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-71\times 4}&-\frac{71}{9-71\times 4}\\-\frac{4}{9-71\times 4}&\frac{9}{9-71\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\41\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{275}&\frac{71}{275}\\\frac{4}{275}&-\frac{9}{275}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\41\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{275}\times 135+\frac{71}{275}\times 41\\\frac{4}{275}\times 135-\frac{9}{275}\times 41\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2776}{275}\\\frac{171}{275}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{2776}{275},y=\frac{171}{275}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9x+71y=135,4x+y=41$$

Para que 9x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$4\times 9x+4\times 71y=4\times 135,9\times 4x+9y=9\times 41$$

Simplifica.

$$36x+284y=540,36x+9y=369$$

Resta 36x+9y=369 de 36x+284y=540 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$36x-36x+284y-9y=540-369$$

Suma 36x a -36x. 36x e -36x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$284y-9y=540-369$$

Suma 284y a -9y.

$$275y=540-369$$

Suma 540 a -369.

$$275y=171$$

Divide ambos lados entre 275.

$$y=\frac{171}{275}$$

Substitúe y por \frac{171}{275} en 4x+y=41. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+\frac{171}{275}=41$$

Resta \frac{171}{275} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{11104}{275}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{2776}{275}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2776}{275},y=\frac{171}{275}$$