Resolver {l}{78x+40y=1280}{120x+8y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 8 y = 2800 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{2120}{87} = 24\frac{32}{87} \approx 24.367816092$$

$$y = -\frac{450}{29} = -15\frac{15}{29} \approx -15.517241379$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$78x+40y=1280$$

Resta 40y en ambos lados da ecuación.

$$78x=-40y+1280$$

Divide ambos lados entre 78.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

Multiplica \frac{1}{78} por -40y+1280.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

Substitúe x por \frac{-20y+640}{39} na outra ecuación, 120x+8y=2800.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+8y=2800$$

Multiplica 120 por \frac{-20y+640}{39}.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+8y=2800$$

Suma -\frac{800y}{13} a 8y.

$$-\frac{696}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

Resta \frac{25600}{13} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{696}{13}y=\frac{10800}{13}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{696}{13}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{450}{29}$$

Substitúe y por -\frac{450}{29} en x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{20}{39}\left(-\frac{450}{29}\right)+\frac{640}{39}$$

Multiplica -\frac{20}{39} por -\frac{450}{29} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{3000}{377}+\frac{640}{39}$$

Suma \frac{640}{39} a \frac{3000}{377} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{2120}{87}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{78\times 8-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 8-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 8-40\times 120}&\frac{78}{78\times 8-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}&\frac{5}{522}\\\frac{5}{174}&-\frac{13}{696}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}\times 1280+\frac{5}{522}\times 2800\\\frac{5}{174}\times 1280-\frac{13}{696}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2120}{87}\\-\frac{450}{29}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

Para que 78x e 120x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 120 e todos os termos a cada lado da segunda por 78.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 8y=78\times 2800$$

Simplifica.

$$9360x+4800y=153600,9360x+624y=218400$$

Resta 9360x+624y=218400 de 9360x+4800y=153600 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$9360x-9360x+4800y-624y=153600-218400$$

Suma 9360x a -9360x. 9360x e -9360x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4800y-624y=153600-218400$$

Suma 4800y a -624y.

$$4176y=153600-218400$$

Suma 153600 a -218400.

$$4176y=-64800$$

Divide ambos lados entre 4176.

$$y=-\frac{450}{29}$$

Substitúe y por -\frac{450}{29} en 120x+8y=2800. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$120x+8\left(-\frac{450}{29}\right)=2800$$

Multiplica 8 por -\frac{450}{29}.

$$120x-\frac{3600}{29}=2800$$

Suma \frac{3600}{29} en ambos lados da ecuación.

$$120x=\frac{84800}{29}$$

Divide ambos lados entre 120.

$$x=\frac{2120}{87}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$