Resolver {l}{50x-y=-50}{35x-y=-70}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x - y = - 50 } \\ { 35 x - y = - 70 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{350}{3} = 116\frac{2}{3} \approx 116.666666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$50x-y=-50,35x-y=-70$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$50x-y=-50$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$50x=y-50$$

Divide ambos lados entre 50.

$$x=\frac{1}{50}\left(y-50\right)$$

Multiplica \frac{1}{50} por y-50.

$$x=\frac{1}{50}y-1$$

Substitúe x por \frac{y}{50}-1 na outra ecuación, 35x-y=-70.

$$35\left(\frac{1}{50}y-1\right)-y=-70$$

Multiplica 35 por \frac{y}{50}-1.

$$\frac{7}{10}y-35-y=-70$$

Suma \frac{7y}{10} a -y.

$$-\frac{3}{10}y-35=-70$$

Suma 35 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{10}y=-35$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{10}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{350}{3}$$

Substitúe y por \frac{350}{3} en x=\frac{1}{50}y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{50}\times \frac{350}{3}-1$$

Multiplica \frac{1}{50} por \frac{350}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{7}{3}-1$$

Suma -1 a \frac{7}{3}.

$$x=\frac{4}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{350}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$50x-y=-50,35x-y=-70$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{50\left(-1\right)-\left(-35\right)}&-\frac{-1}{50\left(-1\right)-\left(-35\right)}\\-\frac{35}{50\left(-1\right)-\left(-35\right)}&\frac{50}{50\left(-1\right)-\left(-35\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{7}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\left(-50\right)-\frac{1}{15}\left(-70\right)\\\frac{7}{3}\left(-50\right)-\frac{10}{3}\left(-70\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{350}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{350}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$50x-y=-50,35x-y=-70$$

Resta 35x-y=-70 de 50x-y=-50 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$50x-35x-y+y=-50+70$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$50x-35x=-50+70$$

Suma 50x a -35x.

$$15x=-50+70$$

Suma -50 a 70.

$$15x=20$$

Divide ambos lados entre 15.

$$x=\frac{4}{3}$$

Substitúe x por \frac{4}{3} en 35x-y=-70. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$35\times \frac{4}{3}-y=-70$$

Multiplica 35 por \frac{4}{3}.

$$\frac{140}{3}-y=-70$$

Resta \frac{140}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-y=-\frac{350}{3}$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=\frac{350}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{350}{3}$$