Resolver {l}{5y+2x=5}{y+2x=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y + 2 x = 5 } \\ { y + 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$5y+2x=5$$

Resta 2x en ambos lados da ecuación.

$$5y=-2x+5$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-2x+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -2x+5.

$$y=-\frac{2}{5}x+1$$

Substitúe y por -\frac{2x}{5}+1 na outra ecuación, y+2x=5.

$$-\frac{2}{5}x+1+2x=5$$

Suma -\frac{2x}{5} a 2x.

$$\frac{8}{5}x+1=5$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{8}{5}x=4$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{8}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{5}{2} en y=-\frac{2}{5}x+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{2}{5}\times \frac{5}{2}+1$$

Multiplica -\frac{2}{5} por \frac{5}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=-1+1$$

Suma 1 a -1.

$$y=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2}&-\frac{2}{5\times 2-2}\\-\frac{1}{5\times 2-2}&\frac{5}{5\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 5\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{5}{8}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

Resta y+2x=5 de 5y+2x=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5y-y+2x-2x=5-5$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y-y=5-5$$

Suma 5y a -y.

$$4y=5-5$$

Suma 5 a -5.

$$4y=0$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en y+2x=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$