Resolver {l}{44k+b=72}{48k+b=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 k + b = 72 } \\ { 48 k + b = 64 } \end{array} \right.$$

Resolver k, b

$$k=-2$$

$$b=160$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a k mediante o illamento de k no lado esquerdo do signo igual.

$$44k+b=72$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$44k=-b+72$$

Divide ambos lados entre 44.

$$k=\frac{1}{44}\left(-b+72\right)$$

Multiplica \frac{1}{44} por -b+72.

$$k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}$$

Substitúe k por -\frac{b}{44}+\frac{18}{11} na outra ecuación, 48k+b=64.

$$48\left(-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}\right)+b=64$$

Multiplica 48 por -\frac{b}{44}+\frac{18}{11}.

$$-\frac{12}{11}b+\frac{864}{11}+b=64$$

Suma -\frac{12b}{11} a b.

$$-\frac{1}{11}b+\frac{864}{11}=64$$

Resta \frac{864}{11} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{11}b=-\frac{160}{11}$$

Multiplica ambos lados por -11.

$$b=160$$

Substitúe b por 160 en k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar k directamente.

$$k=-\frac{1}{44}\times 160+\frac{18}{11}$$

Multiplica -\frac{1}{44} por 160.

$$k=\frac{-40+18}{11}$$

Suma \frac{18}{11} a -\frac{40}{11} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$k=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=-2,b=160$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{44-48}&-\frac{1}{44-48}\\-\frac{48}{44-48}&\frac{44}{44-48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 72+\frac{1}{4}\times 64\\12\times 72-11\times 64\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\160\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz k e b.

$$k=-2,b=160$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Resta 48k+b=64 de 44k+b=72 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$44k-48k+b-b=72-64$$

Suma b a -b. b e -b anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$44k-48k=72-64$$

Suma 44k a -48k.

$$-4k=72-64$$

Suma 72 a -64.

$$-4k=8$$

Divide ambos lados entre -4.

$$k=-2$$

Substitúe k por -2 en 48k+b=64. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$48\left(-2\right)+b=64$$

Multiplica 48 por -2.

$$-96+b=64$$

Suma 96 en ambos lados da ecuación.

$$b=160$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=-2,b=160$$