Resolver {l}{44=12k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 12 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

Resolver k, b

$$k=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$b = \frac{244}{5} = 48\frac{4}{5} = 48.8$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$12k+b=44$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$82k+b=16$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a k mediante o illamento de k no lado esquerdo do signo igual.

$$12k+b=44$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$12k=-b+44$$

Divide ambos lados entre 12.

$$k=\frac{1}{12}\left(-b+44\right)$$

Multiplica \frac{1}{12} por -b+44.

$$k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}$$

Substitúe k por -\frac{b}{12}+\frac{11}{3} na outra ecuación, 82k+b=16.

$$82\left(-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}\right)+b=16$$

Multiplica 82 por -\frac{b}{12}+\frac{11}{3}.

$$-\frac{41}{6}b+\frac{902}{3}+b=16$$

Suma -\frac{41b}{6} a b.

$$-\frac{35}{6}b+\frac{902}{3}=16$$

Resta \frac{902}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{35}{6}b=-\frac{854}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{35}{6}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=\frac{244}{5}$$

Substitúe b por \frac{244}{5} en k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar k directamente.

$$k=-\frac{1}{12}\times \frac{244}{5}+\frac{11}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{12} por \frac{244}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$k=-\frac{61}{15}+\frac{11}{3}$$

Suma \frac{11}{3} a -\frac{61}{15} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$k=-\frac{2}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$12k+b=44$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$82k+b=16$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12-82}&-\frac{1}{12-82}\\-\frac{82}{12-82}&\frac{12}{12-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}&\frac{1}{70}\\\frac{41}{35}&-\frac{6}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}\times 44+\frac{1}{70}\times 16\\\frac{41}{35}\times 44-\frac{6}{35}\times 16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{244}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz k e b.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$12k+b=44$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$82k+b=16$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Resta 82k+b=16 de 12k+b=44 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12k-82k+b-b=44-16$$

Suma b a -b. b e -b anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12k-82k=44-16$$

Suma 12k a -82k.

$$-70k=44-16$$

Suma 44 a -16.

$$-70k=28$$

Divide ambos lados entre -70.

$$k=-\frac{2}{5}$$

Substitúe k por -\frac{2}{5} en 82k+b=16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$82\left(-\frac{2}{5}\right)+b=16$$

Multiplica 82 por -\frac{2}{5}.

$$-\frac{164}{5}+b=16$$

Suma \frac{164}{5} en ambos lados da ecuación.

$$b=\frac{244}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$