Resolver {l}{44=112k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 112 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

Resolver k, b

$$k=\frac{14}{15}\approx 0.933333333$$

$$b = -\frac{908}{15} = -60\frac{8}{15} \approx -60.533333333$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$112k+b=44$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$82k+b=16$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a k mediante o illamento de k no lado esquerdo do signo igual.

$$112k+b=44$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$112k=-b+44$$

Divide ambos lados entre 112.

$$k=\frac{1}{112}\left(-b+44\right)$$

Multiplica \frac{1}{112} por -b+44.

$$k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}$$

Substitúe k por -\frac{b}{112}+\frac{11}{28} na outra ecuación, 82k+b=16.

$$82\left(-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}\right)+b=16$$

Multiplica 82 por -\frac{b}{112}+\frac{11}{28}.

$$-\frac{41}{56}b+\frac{451}{14}+b=16$$

Suma -\frac{41b}{56} a b.

$$\frac{15}{56}b+\frac{451}{14}=16$$

Resta \frac{451}{14} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{15}{56}b=-\frac{227}{14}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{15}{56}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=-\frac{908}{15}$$

Substitúe b por -\frac{908}{15} en k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar k directamente.

$$k=-\frac{1}{112}\left(-\frac{908}{15}\right)+\frac{11}{28}$$

Multiplica -\frac{1}{112} por -\frac{908}{15} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$k=\frac{227}{420}+\frac{11}{28}$$

Suma \frac{11}{28} a \frac{227}{420} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$k=\frac{14}{15}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$112k+b=44$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$82k+b=16$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{112-82}&-\frac{1}{112-82}\\-\frac{82}{112-82}&\frac{112}{112-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{30}\\-\frac{41}{15}&\frac{56}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 44-\frac{1}{30}\times 16\\-\frac{41}{15}\times 44+\frac{56}{15}\times 16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{15}\\-\frac{908}{15}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz k e b.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$112k+b=44$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$82k+b=16$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Resta 82k+b=16 de 112k+b=44 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$112k-82k+b-b=44-16$$

Suma b a -b. b e -b anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$112k-82k=44-16$$

Suma 112k a -82k.

$$30k=44-16$$

Suma 44 a -16.

$$30k=28$$

Divide ambos lados entre 30.

$$k=\frac{14}{15}$$

Substitúe k por \frac{14}{15} en 82k+b=16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$82\times \frac{14}{15}+b=16$$

Multiplica 82 por \frac{14}{15}.

$$\frac{1148}{15}+b=16$$

Resta \frac{1148}{15} en ambos lados da ecuación.

$$b=-\frac{908}{15}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$