Resolver {l}{4x-ay-4a=0}{ax-4y+6a=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - a y - 4 a = 0 } \\ { a x - 4 y + 6 a = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y (complex solution)

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$a\neq -4\text{ and }a\neq 4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

Suma 4a en ambos lados da ecuación.

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

Suma ay en ambos lados da ecuación.

$$4x=ay+4a$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por a\left(4+y\right).

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

Substitúe x por a+\frac{ay}{4} na outra ecuación, ax-4y+6a=0.

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

Multiplica a por a+\frac{ay}{4}.

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

Suma \frac{a^{2}y}{4} a -4y.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

Suma a^{2} a 6a.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

Resta a\left(6+a\right) en ambos lados da ecuación.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

Divide ambos lados entre -4+\frac{a^{2}}{4}.

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Substitúe y por -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} en x=\frac{a}{4}y+a. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

Multiplica \frac{a}{4} por -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}.

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

Suma a a -\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16}.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Para que 4x e ax sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por a e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

Simplifica.

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

Resta 4ax-16y+24a=0 de 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Suma 4ax a -4ax. 4ax e -4ax anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Suma -a^{2}y a 16y.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

Suma -4a^{2} a -24a.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

Suma 4a\left(6+a\right) en ambos lados da ecuación.

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

Divide ambos lados entre -a^{2}+16.

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

Substitúe y por \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} en ax-4y+6a=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Multiplica -4 por \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}.

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Suma -\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} a 6a.

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

Suma \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} en ambos lados da ecuación.

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Divide ambos lados entre a.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$|a|\neq 4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

Suma 4a en ambos lados da ecuación.

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

Suma ay en ambos lados da ecuación.

$$4x=ay+4a$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por a\left(4+y\right).

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

Substitúe x por a+\frac{ay}{4} na outra ecuación, ax-4y+6a=0.

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

Multiplica a por a+\frac{ay}{4}.

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

Suma \frac{a^{2}y}{4} a -4y.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

Suma a^{2} a 6a.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

Resta a\left(6+a\right) en ambos lados da ecuación.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

Divide ambos lados entre -4+\frac{a^{2}}{4}.

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Substitúe y por -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} en x=\frac{a}{4}y+a. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

Multiplica \frac{a}{4} por -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}.

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

Suma a a -\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16}.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Para que 4x e ax sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por a e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

Simplifica.

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

Resta 4ax-16y+24a=0 de 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Suma 4ax a -4ax. 4ax e -4ax anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Suma -a^{2}y a 16y.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

Suma -4a^{2} a -24a.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

Suma 4a\left(6+a\right) en ambos lados da ecuación.

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

Divide ambos lados entre -a^{2}+16.

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

Substitúe y por \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} en ax-4y+6a=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Multiplica -4 por \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}.

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Suma -\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} a 6a.

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

Suma \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} en ambos lados da ecuación.

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Divide ambos lados entre a.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$