Resolver {l}{4a-3b=2}{5a^2-3b^2=17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 a - 3 b = 2 } \\ { 5 a ^ { 2 } - 3 b ^ { 2 } = 17 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=11\text{, }b=14$$

$$a=5\text{, }b=6$$

Pasos que usan substitución e fórmula cadrática

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4a-3b=2,-3b^{2}+5a^{2}=17$$

Resolve o a en 4a-3b=2 mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$4a-3b=2$$

Resta -3b en ambos lados da ecuación.

$$4a=3b+2$$

Divide ambos lados entre 4.

$$a=\frac{3}{4}b+\frac{1}{2}$$

Substitúe a por \frac{3}{4}b+\frac{1}{2} na outra ecuación, -3b^{2}+5a^{2}=17.

$$-3b^{2}+5\left(\frac{3}{4}b+\frac{1}{2}\right)^{2}=17$$

Eleva \frac{3}{4}b+\frac{1}{2} ao cadrado.

$$-3b^{2}+5\left(\frac{9}{16}b^{2}+\frac{3}{4}b+\frac{1}{4}\right)=17$$

Multiplica 5 por \frac{9}{16}b^{2}+\frac{3}{4}b+\frac{1}{4}.

$$-3b^{2}+\frac{45}{16}b^{2}+\frac{15}{4}b+\frac{5}{4}=17$$

Suma -3b^{2} a \frac{45}{16}b^{2}.

$$-\frac{3}{16}b^{2}+\frac{15}{4}b+\frac{5}{4}=17$$

Resta 17 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{16}b^{2}+\frac{15}{4}b-\frac{63}{4}=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -3+5\times \left(\frac{3}{4}\right)^{2}, b por 5\times \frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times 2 e c por -\frac{63}{4} na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\frac{15}{4}±\sqrt{\left(\frac{15}{4}\right)^{2}-4\left(-\frac{3}{16}\right)\left(-\frac{63}{4}\right)}}{2\left(-\frac{3}{16}\right)}$$

Eleva 5\times \frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times 2 ao cadrado.

$$b=\frac{-\frac{15}{4}±\sqrt{\frac{225}{16}-4\left(-\frac{3}{16}\right)\left(-\frac{63}{4}\right)}}{2\left(-\frac{3}{16}\right)}$$

Multiplica -4 por -3+5\times \left(\frac{3}{4}\right)^{2}.

$$b=\frac{-\frac{15}{4}±\sqrt{\frac{225}{16}+\frac{3}{4}\left(-\frac{63}{4}\right)}}{2\left(-\frac{3}{16}\right)}$$

Multiplica \frac{3}{4} por -\frac{63}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$b=\frac{-\frac{15}{4}±\sqrt{\frac{225-189}{16}}}{2\left(-\frac{3}{16}\right)}$$

Suma \frac{225}{16} a -\frac{189}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$b=\frac{-\frac{15}{4}±\sqrt{\frac{9}{4}}}{2\left(-\frac{3}{16}\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de \frac{9}{4}.

$$b=\frac{-\frac{15}{4}±\frac{3}{2}}{2\left(-\frac{3}{16}\right)}$$

Multiplica 2 por -3+5\times \left(\frac{3}{4}\right)^{2}.

$$b=\frac{-\frac{15}{4}±\frac{3}{2}}{-\frac{3}{8}}$$

Agora resolve a ecuación b=\frac{-\frac{15}{4}±\frac{3}{2}}{-\frac{3}{8}} se ± é máis. Suma -\frac{15}{4} a \frac{3}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$b=-\frac{\frac{9}{4}}{-\frac{3}{8}}$$

Divide -\frac{9}{4} entre -\frac{3}{8} mediante a multiplicación de -\frac{9}{4} polo recíproco de -\frac{3}{8}.

$$b=6$$

Agora resolve a ecuación b=\frac{-\frac{15}{4}±\frac{3}{2}}{-\frac{3}{8}} se ± é menos. Resta \frac{3}{2} de -\frac{15}{4} mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$b=-\frac{\frac{21}{4}}{-\frac{3}{8}}$$

Divide -\frac{21}{4} entre -\frac{3}{8} mediante a multiplicación de -\frac{21}{4} polo recíproco de -\frac{3}{8}.

$$b=14$$

Hai dúas solucións para b: 6 e 14. Substitúe b por 6 na ecuación a=\frac{3}{4}b+\frac{1}{2} para obter a solución de a que satisfaga ambas ecuacións.

$$a=\frac{3}{4}\times 6+\frac{1}{2}$$

Multiplica \frac{3}{4} por 6.

$$a=\frac{9+1}{2}$$

Suma \frac{3}{4}\times 6 a \frac{1}{2}.

$$a=5$$

Agora substitúe b por 14 na ecuación a=\frac{3}{4}b+\frac{1}{2} e resólvea para atopar a solución de a que resolva ambas ecuacións.

$$a=\frac{3}{4}\times 14+\frac{1}{2}$$

Multiplica \frac{3}{4} por 14.

$$a=\frac{21+1}{2}$$

Suma \frac{3}{4}\times 14 a \frac{1}{2}.

$$a=11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=5,b=6\text{ or }a=11,b=14$$