Resolver {l}{3x-5y-4=0}{15y=4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y - 4 = 0 } \\ { 15 y = 4 x + 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 4 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$3x-5y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$15y-4x=3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-5y=4$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$3x=5y+4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Substitúe x por \frac{5y+4}{3} na outra ecuación, -4x+15y=3.

$$-4\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+15y=3$$

Multiplica -4 por \frac{5y+4}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{16}{3}+15y=3$$

Suma -\frac{20y}{3} a 15y.

$$\frac{25}{3}y-\frac{16}{3}=3$$

Suma \frac{16}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{25}{3}y=\frac{25}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{25}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

Suma \frac{4}{3} a \frac{5}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 4 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$3x-5y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$15y-4x=3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{3}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\\\frac{4}{25}\times 4+\frac{3}{25}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 4 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$3x-5y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$15y-4x=3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

Para que 3x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-4\times 3x-4\left(-5\right)y=-4\times 4,3\left(-4\right)x+3\times 15y=3\times 3$$

Simplifica.

$$-12x+20y=-16,-12x+45y=9$$

Resta -12x+45y=9 de -12x+20y=-16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-12x+12x+20y-45y=-16-9$$

Suma -12x a 12x. -12x e 12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$20y-45y=-16-9$$

Suma 20y a -45y.

$$-25y=-16-9$$

Suma -16 a -9.

$$-25y=-25$$

Divide ambos lados entre -25.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en -4x+15y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x+15=3$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-12$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$