Resolver {l}{3x-5y=6}{6x+7y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 6 } \\ { 6 x + 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-5y=6$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$3x=5y+6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 5y+6.

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

Substitúe x por \frac{5y}{3}+2 na outra ecuación, 6x+7y=-5.

$$6\left(\frac{5}{3}y+2\right)+7y=-5$$

Multiplica 6 por \frac{5y}{3}+2.

$$10y+12+7y=-5$$

Suma 10y a 7y.

$$17y+12=-5$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$17y=-17$$

Divide ambos lados entre 17.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=\frac{5}{3}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{3}\left(-1\right)+2$$

Multiplica \frac{5}{3} por -1.

$$x=-\frac{5}{3}+2$$

Suma 2 a -\frac{5}{3}.

$$x=\frac{1}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{51}&\frac{5}{51}\\-\frac{2}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{51}\times 6+\frac{5}{51}\left(-5\right)\\-\frac{2}{17}\times 6+\frac{1}{17}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

Para que 3x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$6\times 3x+6\left(-5\right)y=6\times 6,3\times 6x+3\times 7y=3\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$18x-30y=36,18x+21y=-15$$

Resta 18x+21y=-15 de 18x-30y=36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$18x-18x-30y-21y=36+15$$

Suma 18x a -18x. 18x e -18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-30y-21y=36+15$$

Suma -30y a -21y.

$$-51y=36+15$$

Suma 36 a 15.

$$-51y=51$$

Divide ambos lados entre -51.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 6x+7y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+7\left(-1\right)=-5$$

Multiplica 7 por -1.

$$6x-7=-5$$

Suma 7 en ambos lados da ecuación.

$$6x=2$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$