Resolver {l}{3x-5y=10}{x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 10 } \\ { x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{5}{8}=0.625$$

$$y = -\frac{13}{8} = -1\frac{5}{8} = -1.625$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-5y=10,x+y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-5y=10$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$3x=5y+10$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 10+5y.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}$$

Substitúe x por \frac{10+5y}{3} na outra ecuación, x+y=-1.

$$\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}+y=-1$$

Suma \frac{5y}{3} a y.

$$\frac{8}{3}y+\frac{10}{3}=-1$$

Resta \frac{10}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{8}{3}y=-\frac{13}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{8}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{13}{8}$$

Substitúe y por -\frac{13}{8} en x=\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{13}{8}\right)+\frac{10}{3}$$

Multiplica \frac{5}{3} por -\frac{13}{8} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{65}{24}+\frac{10}{3}$$

Suma \frac{10}{3} a -\frac{65}{24} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{5}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{8},y=-\frac{13}{8}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-5y=10,x+y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-5\right)}&\frac{3}{3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{5}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 10+\frac{5}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{8}\times 10+\frac{3}{8}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\\-\frac{13}{8}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{8},y=-\frac{13}{8}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-5y=10,x+y=-1$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x-5y=10,3x+3y=3\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$3x-5y=10,3x+3y=-3$$

Resta 3x+3y=-3 de 3x-5y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-5y-3y=10+3$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-5y-3y=10+3$$

Suma -5y a -3y.

$$-8y=10+3$$

Suma 10 a 3.

$$-8y=13$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=-\frac{13}{8}$$

Substitúe y por -\frac{13}{8} en x+y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\frac{13}{8}=-1$$

Suma \frac{13}{8} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{5}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{8},y=-\frac{13}{8}$$