Resolver {l}{3x+2y=4}{x+y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 } \\ { x + y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=4,x+y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=4$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y+4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y+4.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y+4}{3} na outra ecuación, x+y=3.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}+y=3$$

Suma -\frac{2y}{3} a y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Resta \frac{4}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times 5+\frac{4}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por 5.

$$x=\frac{-10+4}{3}$$

Suma \frac{4}{3} a -\frac{10}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=4,x+y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4-2\times 3\\-4+3\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=4,x+y=3$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x+2y=4,3x+3y=3\times 3$$

Simplifica.

$$3x+2y=4,3x+3y=9$$

Resta 3x+3y=9 de 3x+2y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+2y-3y=4-9$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-3y=4-9$$

Suma 2y a -3y.

$$-y=4-9$$

Suma 4 a -9.

$$-y=-5$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x+y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+5=3$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=5$$