Resolver {l}{3x+2=4y}{x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 = 4 y } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

$$y = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4y en ambos lados.

$$3x+2-4y=0$$

Resta 2 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$3x-4y=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-4y=-2$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=4y-2$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-2\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 4y-2.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}$$

Substitúe x por \frac{4y-2}{3} na outra ecuación, x+y=10.

$$\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}+y=10$$

Suma \frac{4y}{3} a y.

$$\frac{7}{3}y-\frac{2}{3}=10$$

Suma \frac{2}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{3}y=\frac{32}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{32}{7}$$

Substitúe y por \frac{32}{7} en x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4}{3}\times \frac{32}{7}-\frac{2}{3}$$

Multiplica \frac{4}{3} por \frac{32}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{128}{21}-\frac{2}{3}$$

Suma -\frac{2}{3} a \frac{128}{21} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{38}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4y en ambos lados.

$$3x+2-4y=0$$

Resta 2 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$3x-4y=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{4}{7}\times 10\\-\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{38}{7}\\\frac{32}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4y en ambos lados.

$$3x+2-4y=0$$

Resta 2 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$3x-4y=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x-4y=-2,3x+3y=3\times 10$$

Simplifica.

$$3x-4y=-2,3x+3y=30$$

Resta 3x+3y=30 de 3x-4y=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-4y-3y=-2-30$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y-3y=-2-30$$

Suma -4y a -3y.

$$-7y=-2-30$$

Suma -2 a -30.

$$-7y=-32$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=\frac{32}{7}$$

Substitúe y por \frac{32}{7} en x+y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+\frac{32}{7}=10$$

Resta \frac{32}{7} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{38}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$