Resolver {l}{3(x+y)-5(x-y)=16}{2(x+y)+x-y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 5 ( x - y ) = 16 } \\ { 2 ( x + y ) + x - y = 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+y.

$$3x+3y-5\left(x-y\right)=16$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5 por x-y.

$$3x+3y-5x+5y=16$$

Combina 3x e -5x para obter -2x.

$$-2x+3y+5y=16$$

Combina 3y e 5y para obter 8y.

$$-2x+8y=16$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+y.

$$2x+2y+x-y=15$$

Combina 2x e x para obter 3x.

$$3x+2y-y=15$$

Combina 2y e -y para obter y.

$$3x+y=15$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2x+8y=16,3x+y=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-2x+8y=16$$

Resta 8y en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-8y+16$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -8y+16.

$$x=4y-8$$

Substitúe x por -8+4y na outra ecuación, 3x+y=15.

$$3\left(4y-8\right)+y=15$$

Multiplica 3 por -8+4y.

$$12y-24+y=15$$

Suma 12y a y.

$$13y-24=15$$

Suma 24 en ambos lados da ecuación.

$$13y=39$$

Divide ambos lados entre 13.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=4y-8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=4\times 3-8$$

Multiplica 4 por 3.

$$x=12-8$$

Suma -8 a 12.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+y.

$$3x+3y-5\left(x-y\right)=16$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5 por x-y.

$$3x+3y-5x+5y=16$$

Combina 3x e -5x para obter -2x.

$$-2x+3y+5y=16$$

Combina 3y e 5y para obter 8y.

$$-2x+8y=16$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+y.

$$2x+2y+x-y=15$$

Combina 2x e x para obter 3x.

$$3x+2y-y=15$$

Combina 2y e -y para obter y.

$$3x+y=15$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2x+8y=16,3x+y=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&8\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&8\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&8\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&8\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&8\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&8\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&8\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-8\times 3}&-\frac{8}{-2-8\times 3}\\-\frac{3}{-2-8\times 3}&-\frac{2}{-2-8\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}&\frac{4}{13}\\\frac{3}{26}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}\times 16+\frac{4}{13}\times 15\\\frac{3}{26}\times 16+\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+y.

$$3x+3y-5\left(x-y\right)=16$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5 por x-y.

$$3x+3y-5x+5y=16$$

Combina 3x e -5x para obter -2x.

$$-2x+3y+5y=16$$

Combina 3y e 5y para obter 8y.

$$-2x+8y=16$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+y.

$$2x+2y+x-y=15$$

Combina 2x e x para obter 3x.

$$3x+2y-y=15$$

Combina 2y e -y para obter y.

$$3x+y=15$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2x+8y=16,3x+y=15$$

Para que -2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por -2.

$$3\left(-2\right)x+3\times 8y=3\times 16,-2\times 3x-2y=-2\times 15$$

Simplifica.

$$-6x+24y=48,-6x-2y=-30$$

Resta -6x-2y=-30 de -6x+24y=48 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-6x+6x+24y+2y=48+30$$

Suma -6x a 6x. -6x e 6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$24y+2y=48+30$$

Suma 24y a 2y.

$$26y=48+30$$

Suma 48 a 30.

$$26y=78$$

Divide ambos lados entre 26.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 3x+y=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+3=15$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$3x=12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=3$$