Resolver {l}{3(x+y)=5x-y+2}{2(x-y)=3x+y-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) = 5 x - y + 2 } \\ { 2 ( x - y ) = 3 x + y - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+y.

$$3x+3y=5x-y+2$$

Resta 5x en ambos lados.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

Combina 3x e -5x para obter -2x.

$$-2x+3y=-y+2$$

Engadir y en ambos lados.

$$-2x+3y+y=2$$

Combina 3y e y para obter 4y.

$$-2x+4y=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-y.

$$2x-2y=3x+y-4$$

Resta 3x en ambos lados.

$$2x-2y-3x=y-4$$

Combina 2x e -3x para obter -x.

$$-x-2y=y-4$$

Resta y en ambos lados.

$$-x-2y-y=-4$$

Combina -2y e -y para obter -3y.

$$-x-3y=-4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-2x+4y=2$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-4y+2$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+2\right)$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -4y+2.

$$x=2y-1$$

Substitúe x por 2y-1 na outra ecuación, -x-3y=-4.

$$-\left(2y-1\right)-3y=-4$$

Multiplica -1 por 2y-1.

$$-2y+1-3y=-4$$

Suma -2y a -3y.

$$-5y+1=-4$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=-5$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=2y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2-1$$

Suma -1 a 2.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+y.

$$3x+3y=5x-y+2$$

Resta 5x en ambos lados.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

Combina 3x e -5x para obter -2x.

$$-2x+3y=-y+2$$

Engadir y en ambos lados.

$$-2x+3y+y=2$$

Combina 3y e y para obter 4y.

$$-2x+4y=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-y.

$$2x-2y=3x+y-4$$

Resta 3x en ambos lados.

$$2x-2y-3x=y-4$$

Combina 2x e -3x para obter -x.

$$-x-2y=y-4$$

Resta y en ambos lados.

$$-x-2y-y=-4$$

Combina -2y e -y para obter -3y.

$$-x-3y=-4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\times 2-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\times 2-\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+y.

$$3x+3y=5x-y+2$$

Resta 5x en ambos lados.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

Combina 3x e -5x para obter -2x.

$$-2x+3y=-y+2$$

Engadir y en ambos lados.

$$-2x+3y+y=2$$

Combina 3y e y para obter 4y.

$$-2x+4y=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-y.

$$2x-2y=3x+y-4$$

Resta 3x en ambos lados.

$$2x-2y-3x=y-4$$

Combina 2x e -3x para obter -x.

$$-x-2y=y-4$$

Resta y en ambos lados.

$$-x-2y-y=-4$$

Combina -2y e -y para obter -3y.

$$-x-3y=-4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

Para que -2x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por -2.

$$-\left(-2\right)x-4y=-2,-2\left(-1\right)x-2\left(-3\right)y=-2\left(-4\right)$$

Simplifica.

$$2x-4y=-2,2x+6y=8$$

Resta 2x+6y=8 de 2x-4y=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-4y-6y=-2-8$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y-6y=-2-8$$

Suma -4y a -6y.

$$-10y=-2-8$$

Suma -2 a -8.

$$-10y=-10$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en -x-3y=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x-3=-4$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-1$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$