Resolver {l}{3(2x+1)-5(y-3)=1}{5(1-x)-4(2y+1)=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 1 } \\ { 5 ( 1 - x ) - 4 ( 2 y + 1 ) = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

Multiplica 3 por 2x+1.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

Multiplica -5 por y-3.

$$6x+3-5y+15=1$$

Suma 3 a 15.

$$6x-5y+18=1$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$6x-5y=-17$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$6x=5y-17$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-17\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por 5y-17.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}$$

Substitúe x por \frac{5y-17}{6} na outra ecuación, 5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3.

$$5\left(-\left(\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}\right)+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Multiplica -1 por \frac{5y-17}{6}.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{17}{6}+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Suma \frac{17}{6} a 1.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Multiplica 5 por \frac{-5y+23}{6}.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-4\left(2y+1\right)=3$$

Multiplica -4 por 2y+1.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-8y-4=3$$

Suma -\frac{25y}{6} a -8y.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{115}{6}-4=3$$

Suma \frac{115}{6} a -4.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{91}{6}=3$$

Resta \frac{91}{6} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{73}{6}y=-\frac{73}{6}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{73}{6}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5-17}{6}$$

Suma -\frac{17}{6} a \frac{5}{6} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Simplifica a primeira ecuación para convertela a forma estándar.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

Multiplica 3 por 2x+1.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

Multiplica -5 por y-3.

$$6x+3-5y+15=1$$

Suma 3 a 15.

$$6x-5y+18=1$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$6x-5y=-17$$

Simplifica a segunda ecuación para convertela a forma estándar.

$$5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Multiplica 5 por -x+1.

$$-5x+5-4\left(2y+1\right)=3$$

Multiplica -4 por 2y+1.

$$-5x+5-8y-4=3$$

Suma 5 a -4.

$$-5x-8y+1=3$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-5x-8y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&-\frac{5}{73}\\-\frac{5}{73}&-\frac{6}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-17\right)-\frac{5}{73}\times 2\\-\frac{5}{73}\left(-17\right)-\frac{6}{73}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=1$$