Resolver {l}{2x-3y=1}{x+1/3+1=5-y/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { \frac { x + 1 } { 3 } + 1 = \frac { 5 - y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+1.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

Suma 2 e 6 para obter 8.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 5-y.

$$2x+8=15-3y$$

Engadir 3y en ambos lados.

$$2x+8+3y=15$$

Resta 8 en ambos lados.

$$2x+3y=15-8$$

Resta 8 de 15 para obter 7.

$$2x+3y=7$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=1$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{3y+1}{2} na outra ecuación, 2x+3y=7.

$$2\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+3y=7$$

Multiplica 2 por \frac{3y+1}{2}.

$$3y+1+3y=7$$

Suma 3y a 3y.

$$6y+1=7$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$6y=6$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3+1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a \frac{3}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+1.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

Suma 2 e 6 para obter 8.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 5-y.

$$2x+8=15-3y$$

Engadir 3y en ambos lados.

$$2x+8+3y=15$$

Resta 8 en ambos lados.

$$2x+3y=15-8$$

Resta 8 de 15 para obter 7.

$$2x+3y=7$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 7\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+1.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

Suma 2 e 6 para obter 8.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 5-y.

$$2x+8=15-3y$$

Engadir 3y en ambos lados.

$$2x+8+3y=15$$

Resta 8 en ambos lados.

$$2x+3y=15-8$$

Resta 8 de 15 para obter 7.

$$2x+3y=7$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

Resta 2x+3y=7 de 2x-3y=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-3y-3y=1-7$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-3y=1-7$$

Suma -3y a -3y.

$$-6y=1-7$$

Suma 1 a -7.

$$-6y=-6$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en 2x+3y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3=7$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$2x=4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=1$$