Resolver {l}{2x+y=5}{-x+5y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 5 } \\ { - x + 5 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=5,-x+5y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=5$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+5}{2} na outra ecuación, -x+5y=3.

$$-\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+5y=3$$

Multiplica -1 por \frac{-y+5}{2}.

$$\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+5y=3$$

Suma \frac{y}{2} a 5y.

$$\frac{11}{2}y-\frac{5}{2}=3$$

Suma \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{11}{2}y=\frac{11}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{-1+5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a -\frac{1}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=5,-x+5y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2\times 5-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 5-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}\times 5-\frac{1}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 5+\frac{2}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=5,-x+5y=3$$

Para que 2x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-2x-y=-5,2\left(-1\right)x+2\times 5y=2\times 3$$

Simplifica.

$$-2x-y=-5,-2x+10y=6$$

Resta -2x+10y=6 de -2x-y=-5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-y-10y=-5-6$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y-10y=-5-6$$

Suma -y a -10y.

$$-11y=-5-6$$

Suma -5 a -6.

$$-11y=-11$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en -x+5y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+5=3$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-2$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=1$$