Resolver {l}{2x+3y=18-n}{4x-y=5n+1.1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 18 - n } \\ { 4 x - y = 5 n + 1.1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{213}{140} = 1\frac{73}{140} = 1.5214285714285714$$

$$y=\frac{349}{70}-n$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=18-n$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+18-n$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+18-n\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+18-n.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2} na outra ecuación, 4x-y=5n+1.1.

$$4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9\right)-y=5n+1.1$$

Multiplica 4 por -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2}.

$$-6y+36-2n-y=5n+1.1$$

Suma -6y a -y.

$$-7y+36-2n=5n+1.1$$

Resta 36-2n en ambos lados da ecuación.

$$-7y=7n-34.9$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=\frac{349}{70}-n$$

Substitúe y por -n+\frac{349}{70} en x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\left(\frac{349}{70}-n\right)-\frac{n}{2}+9$$

Multiplica -\frac{3}{2} por -n+\frac{349}{70}.

$$x=\frac{3n}{2}-\frac{1047}{140}-\frac{n}{2}+9$$

Suma 9-\frac{n}{2} a \frac{3n}{2}-\frac{1047}{140}.

$$x=n+\frac{213}{140}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=n+\frac{213}{140},y=\frac{349}{70}-n$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(18-n\right)+\frac{3}{14}\left(5n+1.1\right)\\\frac{2}{7}\left(18-n\right)-\frac{1}{7}\left(5n+1.1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}n+\frac{213}{140}\\\frac{349}{70}-n\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=n+\frac{213}{140},y=\frac{349}{70}-n$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.1$$

Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\left(18-n\right),2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\left(5n+1.1\right)$$

Simplifica.

$$8x+12y=72-4n,8x-2y=10n+2.2$$

Resta 8x-2y=10n+2.2 de 8x+12y=72-4n mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+12y+2y=72-4n-10n-2.2$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y+2y=72-4n-10n-2.2$$

Suma 12y a 2y.

$$14y=72-4n-10n-2.2$$

Suma 72-4n a -10n-2.2.

$$14y=69.8-14n$$

Divide ambos lados entre 14.

$$y=\frac{349}{70}-n$$

Substitúe y por \frac{349}{70}-n en 4x-y=5n+1.1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-\left(\frac{349}{70}-n\right)=5n+1.1$$

Resta -\frac{349}{70}+n en ambos lados da ecuación.

$$4x=4n+\frac{213}{35}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=n+\frac{213}{140}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=n+\frac{213}{140},y=\frac{349}{70}-n$$