Resolver {l}{2(x+y)-3(x-y)=4}{5(x+y)-7(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 4 } \\ { 5 ( x + y ) - 7 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-19$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Combina 2x e -3x para obter -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Combina 2y e 3y para obter 5y.

$$-x+5y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -7 por x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Combina 5x e -7x para obter -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Combina 5y e 7y para obter 12y.

$$-2x+12y=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x+5y=4$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$-x=-5y+4$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(-5y+4\right)$$

Multiplica -1 por -5y+4.

$$x=5y-4$$

Substitúe x por 5y-4 na outra ecuación, -2x+12y=2.

$$-2\left(5y-4\right)+12y=2$$

Multiplica -2 por 5y-4.

$$-10y+8+12y=2$$

Suma -10y a 12y.

$$2y+8=2$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$2y=-6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=5y-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=5\left(-3\right)-4$$

Multiplica 5 por -3.

$$x=-15-4$$

Suma -4 a -15.

$$x=-19$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-19,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Combina 2x e -3x para obter -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Combina 2y e 3y para obter 5y.

$$-x+5y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -7 por x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Combina 5x e -7x para obter -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Combina 5y e 7y para obter 12y.

$$-2x+12y=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-12-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-12-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{5}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\times 4+\frac{5}{2}\times 2\\-4+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-19,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Combina 2x e -3x para obter -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Combina 2y e 3y para obter 5y.

$$-x+5y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -7 por x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Combina 5x e -7x para obter -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Combina 5y e 7y para obter 12y.

$$-2x+12y=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Para que -x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2\times 4,-\left(-2\right)x-12y=-2$$

Simplifica.

$$2x-10y=-8,2x-12y=-2$$

Resta 2x-12y=-2 de 2x-10y=-8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-10y+12y=-8+2$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-10y+12y=-8+2$$

Suma -10y a 12y.

$$2y=-8+2$$

Suma -8 a 2.

$$2y=-6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en -2x+12y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x+12\left(-3\right)=2$$

Multiplica 12 por -3.

$$-2x-36=2$$

Suma 36 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=38$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-19$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-19,y=-3$$