Resolver {l}{150y+200x=1000}{100y+400x=1200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 y + 200 x = 1000 } \\ { 100 y + 400 x = 1200 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=2$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$150y+200x=1000$$

Resta 200x en ambos lados da ecuación.

$$150y=-200x+1000$$

Divide ambos lados entre 150.

$$y=\frac{1}{150}\left(-200x+1000\right)$$

Multiplica \frac{1}{150} por -200x+1000.

$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$$

Substitúe y por \frac{-4x+20}{3} na outra ecuación, 100y+400x=1200.

$$100\left(-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}\right)+400x=1200$$

Multiplica 100 por \frac{-4x+20}{3}.

$$-\frac{400}{3}x+\frac{2000}{3}+400x=1200$$

Suma -\frac{400x}{3} a 400x.

$$\frac{800}{3}x+\frac{2000}{3}=1200$$

Resta \frac{2000}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{800}{3}x=\frac{1600}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{800}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por 2.

$$y=\frac{-8+20}{3}$$

Suma \frac{20}{3} a -\frac{8}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=4,x=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{400}{150\times 400-200\times 100}&-\frac{200}{150\times 400-200\times 100}\\-\frac{100}{150\times 400-200\times 100}&\frac{150}{150\times 400-200\times 100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-\frac{1}{200}\\-\frac{1}{400}&\frac{3}{800}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 1000-\frac{1}{200}\times 1200\\-\frac{1}{400}\times 1000+\frac{3}{800}\times 1200\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=4,x=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

Para que 150y e 100y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 100 e todos os termos a cada lado da segunda por 150.

$$100\times 150y+100\times 200x=100\times 1000,150\times 100y+150\times 400x=150\times 1200$$

Simplifica.

$$15000y+20000x=100000,15000y+60000x=180000$$

Resta 15000y+60000x=180000 de 15000y+20000x=100000 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15000y-15000y+20000x-60000x=100000-180000$$

Suma 15000y a -15000y. 15000y e -15000y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$20000x-60000x=100000-180000$$

Suma 20000x a -60000x.

$$-40000x=100000-180000$$

Suma 100000 a -180000.

$$-40000x=-80000$$

Divide ambos lados entre -40000.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en 100y+400x=1200. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$100y+400\times 2=1200$$

Multiplica 400 por 2.

$$100y+800=1200$$

Resta 800 en ambos lados da ecuación.

$$100y=400$$

Divide ambos lados entre 100.

$$y=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=4,x=2$$