Resolver {l}{150x+y=35}{200x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 x + y = 35 } \\ { 200 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=110$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$150x+y=35,200x+y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$150x+y=35$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$150x=-y+35$$

Divide ambos lados entre 150.

$$x=\frac{1}{150}\left(-y+35\right)$$

Multiplica \frac{1}{150} por -y+35.

$$x=-\frac{1}{150}y+\frac{7}{30}$$

Substitúe x por -\frac{y}{150}+\frac{7}{30} na outra ecuación, 200x+y=10.

$$200\left(-\frac{1}{150}y+\frac{7}{30}\right)+y=10$$

Multiplica 200 por -\frac{y}{150}+\frac{7}{30}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{140}{3}+y=10$$

Suma -\frac{4y}{3} a y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{140}{3}=10$$

Resta \frac{140}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{110}{3}$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$y=110$$

Substitúe y por 110 en x=-\frac{1}{150}y+\frac{7}{30}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{150}\times 110+\frac{7}{30}$$

Multiplica -\frac{1}{150} por 110.

$$x=-\frac{11}{15}+\frac{7}{30}$$

Suma \frac{7}{30} a -\frac{11}{15} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{2},y=110$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$150x+y=35,200x+y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{150-200}&-\frac{1}{150-200}\\-\frac{200}{150-200}&\frac{150}{150-200}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{50}&\frac{1}{50}\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{50}\times 35+\frac{1}{50}\times 10\\4\times 35-3\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\110\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{1}{2},y=110$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$150x+y=35,200x+y=10$$

Resta 200x+y=10 de 150x+y=35 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$150x-200x+y-y=35-10$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$150x-200x=35-10$$

Suma 150x a -200x.

$$-50x=35-10$$

Suma 35 a -10.

$$-50x=25$$

Divide ambos lados entre -50.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Substitúe x por -\frac{1}{2} en 200x+y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$200\left(-\frac{1}{2}\right)+y=10$$

Multiplica 200 por -\frac{1}{2}.

$$-100+y=10$$

Suma 100 en ambos lados da ecuación.

$$y=110$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{2},y=110$$