Resolver {l}{15x+12y=1950}{7x+16y=1950}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 15 x + 12 y = 1950 } \\ { 7 x + 16 y = 1950 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=50$$

$$y=100$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$15x+12y=1950$$

Resta 12y en ambos lados da ecuación.

$$15x=-12y+1950$$

Divide ambos lados entre 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(-12y+1950\right)$$

Multiplica \frac{1}{15} por -12y+1950.

$$x=-\frac{4}{5}y+130$$

Substitúe x por -\frac{4y}{5}+130 na outra ecuación, 7x+16y=1950.

$$7\left(-\frac{4}{5}y+130\right)+16y=1950$$

Multiplica 7 por -\frac{4y}{5}+130.

$$-\frac{28}{5}y+910+16y=1950$$

Suma -\frac{28y}{5} a 16y.

$$\frac{52}{5}y+910=1950$$

Resta 910 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{52}{5}y=1040$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{52}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=100$$

Substitúe y por 100 en x=-\frac{4}{5}y+130. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{5}\times 100+130$$

Multiplica -\frac{4}{5} por 100.

$$x=-80+130$$

Suma 130 a -80.

$$x=50$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=50,y=100$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{15\times 16-12\times 7}&-\frac{12}{15\times 16-12\times 7}\\-\frac{7}{15\times 16-12\times 7}&\frac{15}{15\times 16-12\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{13}\\-\frac{7}{156}&\frac{5}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 1950-\frac{1}{13}\times 1950\\-\frac{7}{156}\times 1950+\frac{5}{52}\times 1950\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\100\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=50,y=100$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

Para que 15x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 15.

$$7\times 15x+7\times 12y=7\times 1950,15\times 7x+15\times 16y=15\times 1950$$

Simplifica.

$$105x+84y=13650,105x+240y=29250$$

Resta 105x+240y=29250 de 105x+84y=13650 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$105x-105x+84y-240y=13650-29250$$

Suma 105x a -105x. 105x e -105x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$84y-240y=13650-29250$$

Suma 84y a -240y.

$$-156y=13650-29250$$

Suma 13650 a -29250.

$$-156y=-15600$$

Divide ambos lados entre -156.

$$y=100$$

Substitúe y por 100 en 7x+16y=1950. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x+16\times 100=1950$$

Multiplica 16 por 100.

$$7x+1600=1950$$

Resta 1600 en ambos lados da ecuación.

$$7x=350$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=50$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=50,y=100$$