Resolver {l}{12=a+b}{2=6a+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 12 = a + b } \\ { 2 = 6 a + b } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=-2$$

$$b=14$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$a+b=12$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$6a+b=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$a+b=12,6a+b=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$a+b=12$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$a=-b+12$$

Substitúe a por -b+12 na outra ecuación, 6a+b=2.

$$6\left(-b+12\right)+b=2$$

Multiplica 6 por -b+12.

$$-6b+72+b=2$$

Suma -6b a b.

$$-5b+72=2$$

Resta 72 en ambos lados da ecuación.

$$-5b=-70$$

Divide ambos lados entre -5.

$$b=14$$

Substitúe b por 14 en a=-b+12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-14+12$$

Suma 12 a -14.

$$a=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-2,b=14$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$a+b=12$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$6a+b=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$a+b=12,6a+b=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-6}&-\frac{1}{1-6}\\-\frac{6}{1-6}&\frac{1}{1-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{6}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 12+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{6}{5}\times 12-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\14\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=-2,b=14$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$a+b=12$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$6a+b=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$a+b=12,6a+b=2$$

Resta 6a+b=2 de a+b=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$a-6a+b-b=12-2$$

Suma b a -b. b e -b anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$a-6a=12-2$$

Suma a a -6a.

$$-5a=12-2$$

Suma 12 a -2.

$$-5a=10$$

Divide ambos lados entre -5.

$$a=-2$$

Substitúe a por -2 en 6a+b=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$6\left(-2\right)+b=2$$

Multiplica 6 por -2.

$$-12+b=2$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$b=14$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-2,b=14$$