Resolver {l}{10x+18y=-1}{16x-9y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 18 y = - 1 } \\ { 16 x - 9 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{11}{42}\approx -0.261904762$$

$$y=\frac{17}{189}\approx 0.08994709$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$10x+18y=-1,16x-9y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$10x+18y=-1$$

Resta 18y en ambos lados da ecuación.

$$10x=-18y-1$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-18y-1\right)$$

Multiplica \frac{1}{10} por -18y-1.

$$x=-\frac{9}{5}y-\frac{1}{10}$$

Substitúe x por -\frac{9y}{5}-\frac{1}{10} na outra ecuación, 16x-9y=-5.

$$16\left(-\frac{9}{5}y-\frac{1}{10}\right)-9y=-5$$

Multiplica 16 por -\frac{9y}{5}-\frac{1}{10}.

$$-\frac{144}{5}y-\frac{8}{5}-9y=-5$$

Suma -\frac{144y}{5} a -9y.

$$-\frac{189}{5}y-\frac{8}{5}=-5$$

Suma \frac{8}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{189}{5}y=-\frac{17}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{189}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{17}{189}$$

Substitúe y por \frac{17}{189} en x=-\frac{9}{5}y-\frac{1}{10}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{9}{5}\times \frac{17}{189}-\frac{1}{10}$$

Multiplica -\frac{9}{5} por \frac{17}{189} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{17}{105}-\frac{1}{10}$$

Suma -\frac{1}{10} a -\frac{17}{105} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{11}{42}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{11}{42},y=\frac{17}{189}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$10x+18y=-1,16x-9y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{10\left(-9\right)-18\times 16}&-\frac{18}{10\left(-9\right)-18\times 16}\\-\frac{16}{10\left(-9\right)-18\times 16}&\frac{10}{10\left(-9\right)-18\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}&\frac{1}{21}\\\frac{8}{189}&-\frac{5}{189}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}\left(-1\right)+\frac{1}{21}\left(-5\right)\\\frac{8}{189}\left(-1\right)-\frac{5}{189}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{42}\\\frac{17}{189}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{11}{42},y=\frac{17}{189}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$10x+18y=-1,16x-9y=-5$$

Para que 10x e 16x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 16 e todos os termos a cada lado da segunda por 10.

$$16\times 10x+16\times 18y=16\left(-1\right),10\times 16x+10\left(-9\right)y=10\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$160x+288y=-16,160x-90y=-50$$

Resta 160x-90y=-50 de 160x+288y=-16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$160x-160x+288y+90y=-16+50$$

Suma 160x a -160x. 160x e -160x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$288y+90y=-16+50$$

Suma 288y a 90y.

$$378y=-16+50$$

Suma -16 a 50.

$$378y=34$$

Divide ambos lados entre 378.

$$y=\frac{17}{189}$$

Substitúe y por \frac{17}{189} en 16x-9y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$16x-9\times \frac{17}{189}=-5$$

Multiplica -9 por \frac{17}{189}.

$$16x-\frac{17}{21}=-5$$

Suma \frac{17}{21} en ambos lados da ecuación.

$$16x=-\frac{88}{21}$$

Divide ambos lados entre 16.

$$x=-\frac{11}{42}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{11}{42},y=\frac{17}{189}$$