Resolver {l}{-x+5y=15}{4x+10y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5.333333333$$

$$y = \frac{29}{15} = 1\frac{14}{15} \approx 1.933333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x+5y=15,4x+10y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x+5y=15$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$-x=-5y+15$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(-5y+15\right)$$

Multiplica -1 por -5y+15.

$$x=5y-15$$

Substitúe x por -15+5y na outra ecuación, 4x+10y=-2.

$$4\left(5y-15\right)+10y=-2$$

Multiplica 4 por -15+5y.

$$20y-60+10y=-2$$

Suma 20y a 10y.

$$30y-60=-2$$

Suma 60 en ambos lados da ecuación.

$$30y=58$$

Divide ambos lados entre 30.

$$y=\frac{29}{15}$$

Substitúe y por \frac{29}{15} en x=5y-15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=5\times \frac{29}{15}-15$$

Multiplica 5 por \frac{29}{15}.

$$x=\frac{29}{3}-15$$

Suma -15 a \frac{29}{3}.

$$x=-\frac{16}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{29}{15}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x+5y=15,4x+10y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-10-5\times 4}&-\frac{5}{-10-5\times 4}\\-\frac{4}{-10-5\times 4}&-\frac{1}{-10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\\\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{30}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{3}\\\frac{29}{15}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{29}{15}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x+5y=15,4x+10y=-2$$

Para que -x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$4\left(-1\right)x+4\times 5y=4\times 15,-4x-10y=-\left(-2\right)$$

Simplifica.

$$-4x+20y=60,-4x-10y=2$$

Resta -4x-10y=2 de -4x+20y=60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x+20y+10y=60-2$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$20y+10y=60-2$$

Suma 20y a 10y.

$$30y=60-2$$

Suma 60 a -2.

$$30y=58$$

Divide ambos lados entre 30.

$$y=\frac{29}{15}$$

Substitúe y por \frac{29}{15} en 4x+10y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+10\times \frac{29}{15}=-2$$

Multiplica 10 por \frac{29}{15}.

$$4x+\frac{58}{3}=-2$$

Resta \frac{58}{3} en ambos lados da ecuación.

$$4x=-\frac{64}{3}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-\frac{16}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{29}{15}$$