Resolver {l}{-7x-4y=62}{3x+y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 4 y = 62 } \\ { 3 x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{54}{5} = 10\frac{4}{5} = 10.8$$

$$y = -\frac{172}{5} = -34\frac{2}{5} = -34.4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-7x-4y=62$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$-7x=4y+62$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(4y+62\right)$$

Multiplica -\frac{1}{7} por 4y+62.

$$x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}$$

Substitúe x por \frac{-4y-62}{7} na outra ecuación, 3x+y=-2.

$$3\left(-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}\right)+y=-2$$

Multiplica 3 por \frac{-4y-62}{7}.

$$-\frac{12}{7}y-\frac{186}{7}+y=-2$$

Suma -\frac{12y}{7} a y.

$$-\frac{5}{7}y-\frac{186}{7}=-2$$

Suma \frac{186}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{172}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{172}{5}$$

Substitúe y por -\frac{172}{5} en x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{7}\left(-\frac{172}{5}\right)-\frac{62}{7}$$

Multiplica -\frac{4}{7} por -\frac{172}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{688}{35}-\frac{62}{7}$$

Suma -\frac{62}{7} a \frac{688}{35} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{54}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{7}{-7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 62+\frac{4}{5}\left(-2\right)\\-\frac{3}{5}\times 62-\frac{7}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{54}{5}\\-\frac{172}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

Para que -7x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por -7.

$$3\left(-7\right)x+3\left(-4\right)y=3\times 62,-7\times 3x-7y=-7\left(-2\right)$$

Simplifica.

$$-21x-12y=186,-21x-7y=14$$

Resta -21x-7y=14 de -21x-12y=186 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-21x+21x-12y+7y=186-14$$

Suma -21x a 21x. -21x e 21x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y+7y=186-14$$

Suma -12y a 7y.

$$-5y=186-14$$

Suma 186 a -14.

$$-5y=172$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=-\frac{172}{5}$$

Substitúe y por -\frac{172}{5} en 3x+y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-\frac{172}{5}=-2$$

Suma \frac{172}{5} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{162}{5}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{54}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$