Resolver {l}{-5x+y=1}{10x-4y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = 1 } \\ { 10 x - 4 y = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5x+y=1,10x-4y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-5x+y=1$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-y+1$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y+1\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -y+1.

$$x=\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}$$

Substitúe x por \frac{-1+y}{5} na outra ecuación, 10x-4y=6.

$$10\left(\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}\right)-4y=6$$

Multiplica 10 por \frac{-1+y}{5}.

$$2y-2-4y=6$$

Suma 2y a -4y.

$$-2y-2=6$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=8$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4\right)-\frac{1}{5}$$

Multiplica \frac{1}{5} por -4.

$$x=\frac{-4-1}{5}$$

Suma -\frac{1}{5} a -\frac{4}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5x+y=1,10x-4y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\10&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&1\\10&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\10&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\10&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\10&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\10&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\10&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-5\left(-4\right)-10}&-\frac{1}{-5\left(-4\right)-10}\\-\frac{10}{-5\left(-4\right)-10}&-\frac{5}{-5\left(-4\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&-\frac{1}{10}\\-1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}-\frac{1}{10}\times 6\\-1-\frac{1}{2}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5x+y=1,10x-4y=6$$

Para que -5x e 10x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 10 e todos os termos a cada lado da segunda por -5.

$$10\left(-5\right)x+10y=10,-5\times 10x-5\left(-4\right)y=-5\times 6$$

Simplifica.

$$-50x+10y=10,-50x+20y=-30$$

Resta -50x+20y=-30 de -50x+10y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-50x+50x+10y-20y=10+30$$

Suma -50x a 50x. -50x e 50x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y-20y=10+30$$

Suma 10y a -20y.

$$-10y=10+30$$

Suma 10 a 30.

$$-10y=40$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en 10x-4y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$10x-4\left(-4\right)=6$$

Multiplica -4 por -4.

$$10x+16=6$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$10x=-10$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-4$$