Resolver {l}{-4x+y=-15}{2x-3y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x + y = - 15 } \\ { 2 x - 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-4x+y=-15,2x-3y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-4x+y=-15$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-y-15$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y-15\right)$$

Multiplica -\frac{1}{4} por -y-15.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

Substitúe x por \frac{15+y}{4} na outra ecuación, 2x-3y=5.

$$2\left(\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)-3y=5$$

Multiplica 2 por \frac{15+y}{4}.

$$\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}-3y=5$$

Suma \frac{y}{2} a -3y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=5$$

Resta \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1+15}{4}$$

Suma \frac{15}{4} a \frac{1}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-4x+y=-15,2x-3y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{-4\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{-4\left(-3\right)-2}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-15\right)-\frac{1}{10}\times 5\\-\frac{1}{5}\left(-15\right)-\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-4x+y=-15,2x-3y=5$$

Para que -4x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por -4.

$$2\left(-4\right)x+2y=2\left(-15\right),-4\times 2x-4\left(-3\right)y=-4\times 5$$

Simplifica.

$$-8x+2y=-30,-8x+12y=-20$$

Resta -8x+12y=-20 de -8x+2y=-30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-8x+8x+2y-12y=-30+20$$

Suma -8x a 8x. -8x e 8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-12y=-30+20$$

Suma 2y a -12y.

$$-10y=-30+20$$

Suma -30 a 20.

$$-10y=-10$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en 2x-3y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-3=5$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$2x=8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=1$$