Resolver {l}{-3(3x-y)=2(y+x)}{-3(2x+y)=2(x-3y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 ( 3 x - y ) = 2 ( y + x ) } \\ { - 3 ( 2 x + y ) = 2 ( x - 3 y ) } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Resta 2y en ambos lados.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Combina 3y e -2y para obter y.

$$-9x+y=2x$$

Resta 2x en ambos lados.

$$-9x+y-2x=0$$

Combina -9x e -2x para obter -11x.

$$-11x+y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Resta 2x en ambos lados.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Combina -6x e -2x para obter -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Engadir 6y en ambos lados.

$$-8x-3y+6y=0$$

Combina -3y e 6y para obter 3y.

$$-8x+3y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-11x+y=0$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$-11x=-y$$

Divide ambos lados entre -11.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-1\right)y$$

Multiplica -\frac{1}{11} por -y.

$$x=\frac{1}{11}y$$

Substitúe x por \frac{y}{11} na outra ecuación, -8x+3y=0.

$$-8\times \frac{1}{11}y+3y=0$$

Multiplica -8 por \frac{y}{11}.

$$-\frac{8}{11}y+3y=0$$

Suma -\frac{8y}{11} a 3y.

$$\frac{25}{11}y=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{25}{11}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=\frac{1}{11}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=0$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Resta 2y en ambos lados.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Combina 3y e -2y para obter y.

$$-9x+y=2x$$

Resta 2x en ambos lados.

$$-9x+y-2x=0$$

Combina -9x e -2x para obter -11x.

$$-11x+y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Resta 2x en ambos lados.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Combina -6x e -2x para obter -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Engadir 6y en ambos lados.

$$-8x-3y+6y=0$$

Combina -3y e 6y para obter 3y.

$$-8x+3y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-11\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{11}{-11\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{8}{25}&\frac{11}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Resta 2y en ambos lados.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Combina 3y e -2y para obter y.

$$-9x+y=2x$$

Resta 2x en ambos lados.

$$-9x+y-2x=0$$

Combina -9x e -2x para obter -11x.

$$-11x+y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Resta 2x en ambos lados.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Combina -6x e -2x para obter -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Engadir 6y en ambos lados.

$$-8x-3y+6y=0$$

Combina -3y e 6y para obter 3y.

$$-8x+3y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Para que -11x e -8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -8 e todos os termos a cada lado da segunda por -11.

$$-8\left(-11\right)x-8y=0,-11\left(-8\right)x-11\times 3y=0$$

Simplifica.

$$88x-8y=0,88x-33y=0$$

Resta 88x-33y=0 de 88x-8y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$88x-88x-8y+33y=0$$

Suma 88x a -88x. 88x e -88x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y+33y=0$$

Suma -8y a 33y.

$$25y=0$$

Divide ambos lados entre 25.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en -8x+3y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-8x=0$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=0$$