Resolver {l}{x-y/5-y/2=x-1}{x/3+y+2/2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 10, o mínimo común denominador de 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Combina -2y e -5y para obter -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

Resta 10x en ambos lados.

$$2x-7y-10x=-10$$

Combina 2x e -10x para obter -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por y+2.

$$2x+3y+6=6$$

Resta 6 en ambos lados.

$$2x+3y=6-6$$

Resta 6 de 6 para obter 0.

$$2x+3y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-8x-7y=-10$$

Suma 7y en ambos lados da ecuación.

$$-8x=7y-10$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)$$

Multiplica -\frac{1}{8} por 7y-10.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}$$

Substitúe x por -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4} na outra ecuación, 2x+3y=0.

$$2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0$$

Multiplica 2 por -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0$$

Suma -\frac{7y}{4} a 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0$$

Resta \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

Multiplica -\frac{7}{8} por -2.

$$x=\frac{7+5}{4}$$

Suma \frac{5}{4} a \frac{7}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 10, o mínimo común denominador de 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Combina -2y e -5y para obter -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

Resta 10x en ambos lados.

$$2x-7y-10x=-10$$

Combina 2x e -10x para obter -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por y+2.

$$2x+3y+6=6$$

Resta 6 en ambos lados.

$$2x+3y=6-6$$

Resta 6 de 6 para obter 0.

$$2x+3y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 10, o mínimo común denominador de 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Combina -2y e -5y para obter -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

Resta 10x en ambos lados.

$$2x-7y-10x=-10$$

Combina 2x e -10x para obter -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por y+2.

$$2x+3y+6=6$$

Resta 6 en ambos lados.

$$2x+3y=6-6$$

Resta 6 de 6 para obter 0.

$$2x+3y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Para que -8x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por -8.

$$2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0$$

Simplifica.

$$-16x-14y=-20,-16x-24y=0$$

Resta -16x-24y=0 de -16x-14y=-20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-16x+16x-14y+24y=-20$$

Suma -16x a 16x. -16x e 16x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-14y+24y=-20$$

Suma -14y a 24y.

$$10y=-20$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en 2x+3y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\left(-2\right)=0$$

Multiplica 3 por -2.

$$2x-6=0$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$2x=6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-2$$