Resolver {l}{x/3+y/4=2/2-6/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538$$

$$y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Calcular as multiplicacións.

$$4x+3y=12-12$$

Resta 12 de 12 para obter 0.

$$4x+3y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 20, o mínimo común denominador de 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -10 por y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Combina 4y e -10y para obter -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Combina 5y e -2y para obter 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Combina 5x e 2x para obter 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Suma -15 e 2 para obter -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Resta 7x en ambos lados.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Combina 8x e -7x para obter x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Resta 3y en ambos lados.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Combina -6y e -3y para obter -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Resta 20 en ambos lados.

$$x-9y=-13-20$$

Resta 20 de -13 para obter -33.

$$x-9y=-33$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+3y=0$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-3y$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

Multiplica \frac{1}{4} por -3y.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

Substitúe x por -\frac{3y}{4} na outra ecuación, x-9y=-33.

$$-\frac{3}{4}y-9y=-33$$

Suma -\frac{3y}{4} a -9y.

$$-\frac{39}{4}y=-33$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{39}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{44}{13}$$

Substitúe y por \frac{44}{13} en x=-\frac{3}{4}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por \frac{44}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{33}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Calcular as multiplicacións.

$$4x+3y=12-12$$

Resta 12 de 12 para obter 0.

$$4x+3y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 20, o mínimo común denominador de 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -10 por y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Combina 4y e -10y para obter -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Combina 5y e -2y para obter 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Combina 5x e 2x para obter 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Suma -15 e 2 para obter -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Resta 7x en ambos lados.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Combina 8x e -7x para obter x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Resta 3y en ambos lados.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Combina -6y e -3y para obter -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Resta 20 en ambos lados.

$$x-9y=-13-20$$

Resta 20 de -13 para obter -33.

$$x-9y=-33$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Calcular as multiplicacións.

$$4x+3y=12-12$$

Resta 12 de 12 para obter 0.

$$4x+3y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 20, o mínimo común denominador de 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -10 por y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Combina 4y e -10y para obter -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Combina 5y e -2y para obter 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Combina 5x e 2x para obter 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Suma -15 e 2 para obter -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Resta 7x en ambos lados.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Combina 8x e -7x para obter x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Resta 3y en ambos lados.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Combina -6y e -3y para obter -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Resta 20 en ambos lados.

$$x-9y=-13-20$$

Resta 20 de -13 para obter -33.

$$x-9y=-33$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Para que 4x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)$$

Simplifica.

$$4x+3y=0,4x-36y=-132$$

Resta 4x-36y=-132 de 4x+3y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+3y+36y=132$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y+36y=132$$

Suma 3y a 36y.

$$39y=132$$

Divide ambos lados entre 39.

$$y=\frac{44}{13}$$

Substitúe y por \frac{44}{13} en x-9y=-33. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-9\times \frac{44}{13}=-33$$

Multiplica -9 por \frac{44}{13}.

$$x-\frac{396}{13}=-33$$

Suma \frac{396}{13} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{33}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$