Resolver {l}{x/2-y+1/3=1}{3x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } - \frac { y + 1 } { 3 } = 1 } \\ { 3 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,3.

$$3x-2\left(y+1\right)=6$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por y+1.

$$3x-2y-2=6$$

Engadir 2 en ambos lados.

$$3x-2y=6+2$$

Suma 6 e 2 para obter 8.

$$3x-2y=8$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-2y=8,3x+2y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-2y=8$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=2y+8$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 8+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Substitúe x por \frac{8+2y}{3} na outra ecuación, 3x+2y=4.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+2y=4$$

Multiplica 3 por \frac{8+2y}{3}.

$$2y+8+2y=4$$

Suma 2y a 2y.

$$4y+8=4$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$4y=-4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{8}{3}$$

Multiplica \frac{2}{3} por -1.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Suma \frac{8}{3} a -\frac{2}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,3.

$$3x-2\left(y+1\right)=6$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por y+1.

$$3x-2y-2=6$$

Engadir 2 en ambos lados.

$$3x-2y=6+2$$

Suma 6 e 2 para obter 8.

$$3x-2y=8$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-2y=8,3x+2y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 8+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,3.

$$3x-2\left(y+1\right)=6$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por y+1.

$$3x-2y-2=6$$

Engadir 2 en ambos lados.

$$3x-2y=6+2$$

Suma 6 e 2 para obter 8.

$$3x-2y=8$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-2y=8,3x+2y=4$$

Resta 3x+2y=4 de 3x-2y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-2y-2y=8-4$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-2y=8-4$$

Suma -2y a -2y.

$$-4y=8-4$$

Suma 8 a -4.

$$-4y=4$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 3x+2y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\left(-1\right)=4$$

Multiplica 2 por -1.

$$3x-2=4$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$3x=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-1$$