\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 7 } { 3 } x - \frac { 3 } { 4 } y = x - 2 } \\ { 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.
Resolver x, y
x=-6
y=-8
Gráfico
Compartir
Copiado a portapapeis
\frac{7}{3}x-\frac{3}{4}y-x=-2
Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.
\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2
Combina \frac{7}{3}x e -x para obter \frac{4}{3}x.
\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2,2x-y=-4
Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.
\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2
Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.
\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}y-2
Suma \frac{3y}{4} en ambos lados da ecuación.
x=\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}y-2\right)
Divide ambos lados da ecuación entre \frac{4}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.
x=\frac{9}{16}y-\frac{3}{2}
Multiplica \frac{3}{4} por \frac{3y}{4}-2.
2\left(\frac{9}{16}y-\frac{3}{2}\right)-y=-4
Substitúe x por \frac{9y}{16}-\frac{3}{2} na outra ecuación, 2x-y=-4.
\frac{9}{8}y-3-y=-4
Multiplica 2 por \frac{9y}{16}-\frac{3}{2}.
\frac{1}{8}y-3=-4
Suma \frac{9y}{8} a -y.
\frac{1}{8}y=-1
Suma 3 en ambos lados da ecuación.
y=-8
Multiplica ambos lados por 8.
x=\frac{9}{16}\left(-8\right)-\frac{3}{2}
Substitúe y por -8 en x=\frac{9}{16}y-\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.
x=\frac{-9-3}{2}
Multiplica \frac{9}{16} por -8.
x=-6
Suma -\frac{3}{2} a -\frac{9}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.
x=-6,y=-8
O sistema xa funciona correctamente.
\frac{7}{3}x-\frac{3}{4}y-x=-2
Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.
\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2
Combina \frac{7}{3}x e -x para obter \frac{4}{3}x.
\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2,2x-y=-4
Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.
\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)
Escribe as ecuacións en forma matricial.
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)
Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)
O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)
Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}\\-\frac{2}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}&\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)
A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{9}{2}\\-12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)
Fai o cálculo.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\left(-2\right)+\frac{9}{2}\left(-4\right)\\-12\left(-2\right)+8\left(-4\right)\end{matrix}\right)
Multiplica as matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-8\end{matrix}\right)
Fai o cálculo.
x=-6,y=-8
Extrae os elementos da matriz x e y.
\frac{7}{3}x-\frac{3}{4}y-x=-2
Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.
\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2
Combina \frac{7}{3}x e -x para obter \frac{4}{3}x.
\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2,2x-y=-4
Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.
2\times \frac{4}{3}x+2\left(-\frac{3}{4}\right)y=2\left(-2\right),\frac{4}{3}\times 2x+\frac{4}{3}\left(-1\right)y=\frac{4}{3}\left(-4\right)
Para que \frac{4x}{3} e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{4}{3}.
\frac{8}{3}x-\frac{3}{2}y=-4,\frac{8}{3}x-\frac{4}{3}y=-\frac{16}{3}
Simplifica.
\frac{8}{3}x-\frac{8}{3}x-\frac{3}{2}y+\frac{4}{3}y=-4+\frac{16}{3}
Resta \frac{8}{3}x-\frac{4}{3}y=-\frac{16}{3} de \frac{8}{3}x-\frac{3}{2}y=-4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.
-\frac{3}{2}y+\frac{4}{3}y=-4+\frac{16}{3}
Suma \frac{8x}{3} a -\frac{8x}{3}. \frac{8x}{3} e -\frac{8x}{3} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.
-\frac{1}{6}y=-4+\frac{16}{3}
Suma -\frac{3y}{2} a \frac{4y}{3}.
-\frac{1}{6}y=\frac{4}{3}
Suma -4 a \frac{16}{3}.
y=-8
Multiplica ambos lados por -6.
2x-\left(-8\right)=-4
Substitúe y por -8 en 2x-y=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.
2x=-12
Resta 8 en ambos lados da ecuación.
x=-6
Divide ambos lados entre 2.
x=-6,y=-8
O sistema xa funciona correctamente.
Exemplos
Ecuación cuadrática
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometría
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ecuación linear
y = 3x + 4
Aritmética
699 * 533
Matriz
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Ecuación simultánea
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferenciación
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integración
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Límites
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}