Resolver {l}{2x-y/3-2=x}{1/6x+y-1/3=-3/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y } { 3 } - 2 = x } \\ { \frac { 1 } { 6 } x + \frac { y - 1 } { 3 } = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Divide cada termo de 2x-y entre 3 para obter \frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y-2=x$$

Resta x en ambos lados.

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y-2-x=0$$

Combina \frac{2}{3}x e -x para obter -\frac{1}{3}x.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y-2=0$$

Engadir 2 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 6,3,2.

$$1x+2\left(y-1\right)=-9$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y-1.

$$1x+2y-2=-9$$

Engadir 2 en ambos lados.

$$1x+2y=-9+2$$

Suma -9 e 2 para obter -7.

$$1x+2y=-7$$

Reordena os termos.

$$x+2y=-7$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y=2,x+2y=-7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y=2$$

Suma \frac{y}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}y+2$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$x=-3\left(\frac{1}{3}y+2\right)$$

Multiplica -3 por \frac{y}{3}+2.

$$x=-y-6$$

Substitúe x por -y-6 na outra ecuación, x+2y=-7.

$$-y-6+2y=-7$$

Suma -y a 2y.

$$y-6=-7$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-y-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-1\right)-6$$

Multiplica -1 por -1.

$$x=1-6$$

Suma -6 a 1.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Divide cada termo de 2x-y entre 3 para obter \frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y-2=x$$

Resta x en ambos lados.

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y-2-x=0$$

Combina \frac{2}{3}x e -x para obter -\frac{1}{3}x.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y-2=0$$

Engadir 2 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 6,3,2.

$$1x+2\left(y-1\right)=-9$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y-1.

$$1x+2y-2=-9$$

Engadir 2 en ambos lados.

$$1x+2y=-9+2$$

Suma -9 e 2 para obter -7.

$$1x+2y=-7$$

Reordena os termos.

$$x+2y=-7$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y=2,x+2y=-7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-\frac{1}{3}\times 2-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}\times 2-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{3}\times 2-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}\times 2-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\times 2-\left(-7\right)\\3\times 2-7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-5,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Divide cada termo de 2x-y entre 3 para obter \frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y-2=x$$

Resta x en ambos lados.

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y-2-x=0$$

Combina \frac{2}{3}x e -x para obter -\frac{1}{3}x.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y-2=0$$

Engadir 2 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 6,3,2.

$$1x+2\left(y-1\right)=-9$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y-1.

$$1x+2y-2=-9$$

Engadir 2 en ambos lados.

$$1x+2y=-9+2$$

Suma -9 e 2 para obter -7.

$$1x+2y=-7$$

Reordena os termos.

$$x+2y=-7$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y=2,x+2y=-7$$

Para que -\frac{x}{3} e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -\frac{1}{3}.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y=2,-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\times 2y=-\frac{1}{3}\left(-7\right)$$

Simplifica.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y=2,-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}y=\frac{7}{3}$$

Resta -\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}y=\frac{7}{3} de -\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}y=2-\frac{7}{3}$$

Suma -\frac{x}{3} a \frac{x}{3}. -\frac{x}{3} e \frac{x}{3} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}y=2-\frac{7}{3}$$

Suma -\frac{y}{3} a \frac{2y}{3}.

$$\frac{1}{3}y=2-\frac{7}{3}$$

Suma 2 a -\frac{7}{3}.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{1}{3}$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x+2y=-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+2\left(-1\right)=-7$$

Multiplica 2 por -1.

$$x-2=-7$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=-1$$