Resolver {c}{x-2y=9}{3x+4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x - 2 y = 9 } \\ { 3 x + 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-2y=9,3x+4y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-2y=9$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=2y+9$$

Substitúe x por 2y+9 na outra ecuación, 3x+4y=7.

$$3\left(2y+9\right)+4y=7$$

Multiplica 3 por 2y+9.

$$6y+27+4y=7$$

Suma 6y a 4y.

$$10y+27=7$$

Resta 27 en ambos lados da ecuación.

$$10y=-20$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=2y+9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\left(-2\right)+9$$

Multiplica 2 por -2.

$$x=-4+9$$

Suma 9 a -4.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-2y=9,3x+4y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 9+\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{3}{10}\times 9+\frac{1}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-2y=9,3x+4y=7$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\times 9,3x+4y=7$$

Simplifica.

$$3x-6y=27,3x+4y=7$$

Resta 3x+4y=7 de 3x-6y=27 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-6y-4y=27-7$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y-4y=27-7$$

Suma -6y a -4y.

$$-10y=27-7$$

Suma 27 a -7.

$$-10y=20$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en 3x+4y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+4\left(-2\right)=7$$

Multiplica 4 por -2.

$$3x-8=7$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$3x=15$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-2$$