Resolver {c}{x+4y=12}{2x-y=6}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + 4 y = 12 } \\ { 2 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+4y=12,2x-y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+4y=12$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$x=-4y+12$$

Substitúe x por -4y+12 na outra ecuación, 2x-y=6.

$$2\left(-4y+12\right)-y=6$$

Multiplica 2 por -4y+12.

$$-8y+24-y=6$$

Suma -8y a -y.

$$-9y+24=6$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$-9y=-18$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-4y+12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-4\times 2+12$$

Multiplica -4 por 2.

$$x=-8+12$$

Suma 12 a -8.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+4y=12,2x-y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4\times 2}&-\frac{4}{-1-4\times 2}\\-\frac{2}{-1-4\times 2}&\frac{1}{-1-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 12+\frac{4}{9}\times 6\\\frac{2}{9}\times 12-\frac{1}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+4y=12,2x-y=6$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2\times 4y=2\times 12,2x-y=6$$

Simplifica.

$$2x+8y=24,2x-y=6$$

Resta 2x-y=6 de 2x+8y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+8y+y=24-6$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y+y=24-6$$

Suma 8y a y.

$$9y=24-6$$

Suma 24 a -6.

$$9y=18$$

Divide ambos lados entre 9.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 2x-y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-2=6$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$2x=8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=2$$