Resolver {c}{2x+5y=8}{x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 5 y = 8 } \\ { x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{39}{11} = 3\frac{6}{11} \approx 3.545454545$$

$$y=\frac{2}{11}\approx 0.181818182$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+5y=8$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-5y+8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -5y+8.

$$x=-\frac{5}{2}y+4$$

Substitúe x por -\frac{5y}{2}+4 na outra ecuación, x-3y=3.

$$-\frac{5}{2}y+4-3y=3$$

Suma -\frac{5y}{2} a -3y.

$$-\frac{11}{2}y+4=3$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{11}{2}y=-1$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{11}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{2}{11}$$

Substitúe y por \frac{2}{11} en x=-\frac{5}{2}y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{2}{11}+4$$

Multiplica -\frac{5}{2} por \frac{2}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{5}{11}+4$$

Suma 4 a -\frac{5}{11}.

$$x=\frac{39}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{2\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-5}&\frac{2}{2\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 8+\frac{5}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{2}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{11}\\\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+5y=8,2x+2\left(-3\right)y=2\times 3$$

Simplifica.

$$2x+5y=8,2x-6y=6$$

Resta 2x-6y=6 de 2x+5y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+5y+6y=8-6$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y+6y=8-6$$

Suma 5y a 6y.

$$11y=8-6$$

Suma 8 a -6.

$$11y=2$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=\frac{2}{11}$$

Substitúe y por \frac{2}{11} en x-3y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-3\times \frac{2}{11}=3$$

Multiplica -3 por \frac{2}{11}.

$$x-\frac{6}{11}=3$$

Suma \frac{6}{11} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{39}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$