Resolver {c}{3-2y/4-1/4=1-2x/6}{25/8-1=frac{x+3}{2}-frac{3(1+y)}{8}}

$$\left\{ \begin{array} { c } { \frac { 3 - 2 y } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 - 2 x } { 6 } } \\ { \frac { 25 } { 8 } - 1 = \frac { x + 3 } { 2 } - \frac { 3 ( 1 + y ) } { 8 } } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=5$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 4,6.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3-2y.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

Resta 3 de 9 para obter 6.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 1-2x.

$$6-6y=2-4x$$

Engadir 4x en ambos lados.

$$6-6y+4x=2$$

Resta 6 en ambos lados.

$$-6y+4x=2-6$$

Resta 6 de 2 para obter -4.

$$-6y+4x=-4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 8, o mínimo común denominador de 8,2.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Resta 8 de 25 para obter 17.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x+3.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 1+y.

$$17=4x+12-3-3y$$

Resta 3 de 12 para obter 9.

$$17=4x+9-3y$$

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$4x+9-3y=17$$

Resta 9 en ambos lados.

$$4x-3y=17-9$$

Resta 9 de 17 para obter 8.

$$4x-3y=8$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$-6y+4x=-4$$

Resta 4x en ambos lados da ecuación.

$$-6y=-4x-4$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=-\frac{1}{6}\left(-4x-4\right)$$

Multiplica -\frac{1}{6} por -4x-4.

$$y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$$

Substitúe y por \frac{2+2x}{3} na outra ecuación, -3y+4x=8.

$$-3\left(\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\right)+4x=8$$

Multiplica -3 por \frac{2+2x}{3}.

$$-2x-2+4x=8$$

Suma -2x a 4x.

$$2x-2=8$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$2x=10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=5$$

Substitúe x por 5 en y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{2}{3}\times 5+\frac{2}{3}$$

Multiplica \frac{2}{3} por 5.

$$y=\frac{10+2}{3}$$

Suma \frac{2}{3} a \frac{10}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=4,x=5$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 4,6.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3-2y.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

Resta 3 de 9 para obter 6.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 1-2x.

$$6-6y=2-4x$$

Engadir 4x en ambos lados.

$$6-6y+4x=2$$

Resta 6 en ambos lados.

$$-6y+4x=2-6$$

Resta 6 de 2 para obter -4.

$$-6y+4x=-4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 8, o mínimo común denominador de 8,2.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Resta 8 de 25 para obter 17.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x+3.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 1+y.

$$17=4x+12-3-3y$$

Resta 3 de 12 para obter 9.

$$17=4x+9-3y$$

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$4x+9-3y=17$$

Resta 9 en ambos lados.

$$4x-3y=17-9$$

Resta 9 de 17 para obter 8.

$$4x-3y=8$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{6}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=4,x=5$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 4,6.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3-2y.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

Resta 3 de 9 para obter 6.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 1-2x.

$$6-6y=2-4x$$

Engadir 4x en ambos lados.

$$6-6y+4x=2$$

Resta 6 en ambos lados.

$$-6y+4x=2-6$$

Resta 6 de 2 para obter -4.

$$-6y+4x=-4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 8, o mínimo común denominador de 8,2.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Resta 8 de 25 para obter 17.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x+3.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 1+y.

$$17=4x+12-3-3y$$

Resta 3 de 12 para obter 9.

$$17=4x+9-3y$$

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$4x+9-3y=17$$

Resta 9 en ambos lados.

$$4x-3y=17-9$$

Resta 9 de 17 para obter 8.

$$4x-3y=8$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

Resta -3y+4x=8 de -6y+4x=-4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-6y+3y+4x-4x=-4-8$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y+3y=-4-8$$

Suma -6y a 3y.

$$-3y=-4-8$$

Suma -4 a -8.

$$-3y=-12$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en -3y+4x=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3\times 4+4x=8$$

Multiplica -3 por 4.

$$-12+4x=8$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$4x=20$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=4,x=5$$