Resolver 5x+1/x+2+x-1/x=2

$$\frac{ 5x+1 }{ x+2 } + \frac{ x-1 }{ x } =2$$

Resolver x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x=1$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -2,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x\left(x+2\right), o mínimo común denominador de x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+2 por x-1 e combina os termos semellantes.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina 5x^{2} e x^{2} para obter 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina x e x para obter 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x por x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Resta 2x^{2} en ambos lados.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Combina 6x^{2} e -2x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Resta 4x en ambos lados.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Combina 2x e -4x para obter -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Divide ambos lados entre 2.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2x^{2}+ax+bx-1. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. A única parella así é a solución de sistema.

$$a=-2 b=1$$

Reescribe 2x^{2}-x-1 como \left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right)$$

Factorizar 2x en 2x^{2}-2x.

$$2x\left(x-1\right)+x-1$$

Factoriza o termo común x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-1=0 e 2x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -2,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x\left(x+2\right), o mínimo común denominador de x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+2 por x-1 e combina os termos semellantes.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina 5x^{2} e x^{2} para obter 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina x e x para obter 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x por x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Resta 2x^{2} en ambos lados.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Combina 6x^{2} e -2x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Resta 4x en ambos lados.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Combina 2x e -4x para obter -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por -2 e c por -2 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -2 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+32}}{2\times 4}$$

Suma 4 a 32.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{36}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±6}{2\times 4}$$

O contrario de -2 é 2.

$$x=\frac{2±6}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{2±6}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{2±6}{8} se ± é máis. Suma 2 a 6.

$$x=\frac{8}{8}$$

Divide 8 entre 8.

$$x=1$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{2±6}{8} se ± é menos. Resta 6 de 2.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Reduce a fracción \frac{-4}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -2,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x\left(x+2\right), o mínimo común denominador de x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+2 por x-1 e combina os termos semellantes.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina 5x^{2} e x^{2} para obter 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina x e x para obter 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x por x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Resta 2x^{2} en ambos lados.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Combina 6x^{2} e -2x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Resta 4x en ambos lados.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Combina 2x e -4x para obter -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Engadir 2 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$4x^{2}-2x=2$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{2}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{2}{4}$$

Reduce a fracción \frac{-2}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{2}{4}$$

Reduce a fracción \frac{2}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Divide -\frac{1}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{4}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Suma \frac{1}{2} a \frac{1}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Factoriza x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Suma \frac{1}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$